1632
правки
Изменения
м
Выбрав <tex>k = \log n </tex>, получаем требуемую асимптотику <tex dpi=140>O(n^2 \log n) + O(\frac{n^3}{\log n}) = O(\frac{n^3}{\log n})</tex>
rollbackEdits.php mass rollback
{{Задача|definition = Дано две квадратных матрицы <tex>A_{[n \times n]}</tex> и <tex>B_{[n \times n]}</tex>,
состоящие из нулей и единиц. Нужно найти их произведение. При этом, все операции выполняются по модулю <tex>2</tex>.
}}</noinclude><includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;"><div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div><div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div></div>|<table border="0" width="100%"><tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr><tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr></table>}}</includeonly>
== Простое решение ==
Если мы будем считать произведение матриц <tex>C = A \cdot B</tex> по определению(<tex dpi=140130>\left(c_{i, j} = \sum\limits_{k = 1}^n a_{i,k}b_{k,j}\right)</tex>), то сложность работы алгоритма составит <tex>O(n^3)</tex> {{---}} каждый из <tex>n^2</tex> элементов результирующей матрицы <tex>C</tex> вычисляется за время, пропорциональное <tex>n</tex>.
Сейчас будет показано, как немного уменьшить это время.
Аналогично поступим с матрицей <tex>B</tex>, вместо строк деля столбцы. Получим матрицу <tex dpi=140>B'_{\lceil\frac nk\rceil\times n}</tex>.
Теперь, если вместо произведения матриц <tex>A</tex> и <tex>B</tex> считать произведение новых матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex>, воспользовавшись посчитанными скалярными произведениями, то каждый элемент матрицы <tex>C</tex> будет получаться уже за время, пропорциональное <tex>\lceil \frac nk dfrac{n}{k} \rceil</tex> вместо <tex>n</tex>, и время произведения матриц сократится с <tex>O(n^3)</tex> до <tex dpi=140>O(n^2 \cdot\frac dfrac nk) = O(\fracdfrac{n^3}{k}) </tex>.
== Оценка сложности алгоритма и выбор k ==
[[Файл:exampleFourRussiansAlgoFinalPicture.png|500px|right]]
Оценим асимптотику данного алгоритма.
* Предподсчёт скалярных произведений работает за <tex>O(2^{2k}k)</tex>.
* Создание матриц <tex>A'</tex> и <tex>B'</tex> {{---}} <tex>O(n^2)</tex>.* Перемножение полученных матриц {{---}} <tex dpi=140>O(\fracdfrac{n^3}{k})</tex>.
Итого: <tex>O(2^{2k}k) + O(\fracdfrac{n^3}{k})</tex>.Выбрав <tex>k = \log n </tex>, получаем требуемую асимптотику <tex>O(n^2 \log n) + O(\dfrac{n^3}{\log n}) = O(\dfrac{n^3}{\log n})</tex>
== Пример работы алгоритма ==
</tex>
<tex> k = \log_2 n = \log_2 4 = 2</tex>, то предподсчитаем все скалярные произведения:
Для удобства каждому битовому вектору будет соответствовать двоичное число с ведущими нулями, т.е. в данном случае имеем числа <tex> 00 </tex>, <tex> 01 </tex>, <tex> 10 </tex>, <tex> 11 </tex>. Ниже приведена таблица, в которой записаны все искомые произведения:
<tex>
\begin{tabulararray}{|c|c|c|c|c|}
\hline
& \textbf{00} & \textbf{01} & \textbf{10} & \textbf{11} \\
\textbf{11} & 0 & 1 & 1 & 0\\
\hline
\end{tabulararray}
</tex>
</tex>
Матрица <tex> C </tex> {{- --}} искомая.
== Литература Источники информации ==* ''Gregory V. Bard'' — '''Accelerating Cryptanalysis with the Method of Four Russians''' . July 22, 2006. Страница 5
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]
[[Категория: Способы оптимизации методов динамического программирования]]
