234
правки
Изменения
Нет описания правки
Значит <tex>P^n \rho _j</tex> сходится к вектору, все элементы которого равны между собой. Пусть <tex>a_j</tex> - их общее значение. Тогда <tex>0 \leqslant a_j \leqslant 1</tex>. Заметим, что <tex>P^n \rho _j</tex> - j-тый столбец матрицы <tex>P^n</tex>. Рассмотрим все <tex>\rho _j</tex> для <tex>j = 1, 2, \ldots</tex>. Тогда <tex>P^n</tex> сходится к матрице А, у которой по строкам стоит один и тот же вектор <tex>\alpha = \{a_1, a_2, \ldots, a_n \}</tex>.
Так как в каждой матрице <tex>P^n</tex> сумма элементов в строке равна 1, то то же самое справедливо и для предельной матрицы А. Теорема доказана.
== Следствие из теоремы ==
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>P, A, \alpha</tex> - объекты из предыдущей теоремы.
Тогда справедливы факты:<br>
* для любого вероятностного вектора <tex>\pi \ \ \ \displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \alpha</tex>
* <tex>\alpha</tex> - единственный вектор, для которого <tex>\alpha P = \alpha</tex>
* <tex>AP = PA = A</tex>
}}
Доказательство:
*
== Литература ==
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова", стр 93
