234
правки
Изменения
Нет описания правки
Так как в каждой матрице <tex>P^n</tex> сумма элементов в строке равна 1, то то же самое справедливо и для предельной матрицы А. Теорема доказана.
Матрица А называется ''предельной матрицей'', вектор <tex>\alpha</tex> - ''предельным распределением''.
== Следствие из теоремы ==
* <tex>\pi</tex> - вероятностный вектор, значит <tex>\pi \xi = 1</tex>(сумма его элементов равна 1), значит <tex>\pi A = \pi \xi \alpha = \alpha</tex>. Но <tex>\displaystyle \lim_{n \to \infty} \pi P^n = \pi A = \alpha</tex> - первый пункт доказан.
* Пусть <tex>\beta : \ \ \beta P = \beta</tex>. Тогда <tex>\forall n \ \beta P^n = beta \Rightarrow \beta = \beta A = \alpha</tex>. Второй пункт доказан.
* <tex>\displaystyle \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow P \cdot \lim_{n \to \infty} P^n = A \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} P^n \cdot P = A</tex>. Третий пункт доказан. Таким образом у регулярных цепей есть свойство: через достаточно большое количество ходов будет существовать постоянная вероятность нахождения цепи в состоянии <tex>s_i</tex>, и эта вероятность не зависит от началоного распределения, а зависит только от матрицы P.
== Литература ==
Дж. Кемени, Дж. Снелл "Конечные цепи Маркова", стр 93
