Изменения
Нет описания правки
[[Лекция 4 | <<]][[Лекция 6 | >>]]
= Секвенциальное исчисление высказываний =
Исчисления гильбертовского типа, используемые здесь, не единственные. Как пример, рассмотрим секвенциальное исчисление. В данном разделе мы будем использовать символ <math>\supset</math> вместо символа <math>\rightarrow</math>.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\Gamma</tex> и <tex>\Delta</tex> --- некоторые формулы исчисления высказываний. Тогда секвенция --- это запись вида <tex>\Gamma \rightarrow \Delta</tex>. Часть секвенции <tex>\Gamma</tex> называется ''антецедентом'', а <tex>\Delta</tex> --- ''сукцедентом''.
}}
Неформальный смысл секвенции: секвенция <tex>\gamma_1,...\gamma_n \rightarrow \delta_1,...\delta_n</tex> означает, что из конъюнкции всех аргументов слева следует дизъюнкция всех аргументов справа. Пустой список слева соответствует истине, пустой список справа — лжи. Соответственно, доказуемость секвенции <tex>\rightarrow</tex> означает противоречие.
Формальная система, основанная на секвенциальном исчислении, имеет одну схему аксиом: <tex>(\psi) \rightarrow (\psi)</tex>, и множество правил вывода.
* Правила вывода и аксиомы смотри в книге Г. Такеути Теория доказательств, М, <<Мир>>, 1978, стр. 15-17.
{{Теорема
|statement=
Теорема об устранении сечений. Любое доказательство, использующее правило сечения, может быть перестроено в доказательство, не использующее правило сечения.
|proof=
Без доказательства.
}}
Интуиционистское исчисление высказываний может быть получено из классического путем введения ограничения на количество формул в суккцеденте: их должно быть не более одной.
= Интуиционистская логика =
Интуиционистское исчисление высказываний получается из классического заменой схемы аксиом 10 в исчислении высказываний (схемы аксиом снятия двойного отрицания) на следующую: <tex>(\neg (\psi)) \rightarrow (\psi) \rightarrow (\phi)</tex>
Конструкцию примера для доказательства необщезначимости закона исключенного третьего и конструкцию моделей Крипке см. Н.К.Шень, А.Верещагин, Лекции по математической логике и теории алгоритмов, часть 2. Языки и Исчисления.<br />
<br />
Глава 2, Интуиционистская пропозициональная логика, стр. 74-77.
