Изменения
→Аксиомы
Запись <tex>\psi[x := y]</tex> будет означать результат подстановки <tex>y</tex> в <tex>\psi</tex> вместо всех свободных вхождений <tex>x</tex>. Пусть <tex>y</tex> свободно для подстановки вместо <tex>x</tex>.
(11) <tex>\forall{x}(\psiPsi) \rightarrow (\psiPsi[x := \alpha]) </tex>
(12) <tex>(\psiPsi[x := \alpha]) \rightarrow \exists{x}(\psiPsi) </tex>
Заметим, что если взять формулу <tex>\exists x A(x,y)</tex>, то по схеме аксиом (11),
<tex> \forall y \exists x A(x,y) \rightarrow \exists x A (x,x) </tex>. Однако, оно ей не является.
Пример, когда нарушение свободы для подстановки приводит к противоречию: <tex>\forall{x}(\Psi) \to (\Psi[x := \alpha]) \\\Psi := \exists a \lnot P(a) = P(b), x := b, \alpha := a \\\forall b \exists a (\lnot P(a) = P(b)) \to \exists a (\lnot P(a) = P(a)) \\</tex> Такой предикат <tex>P</tex>, очевидно, существует (если в предметном множестве больше одного элемента). Тогда <tex>\exists a (\lnot P(a) = P(a))</tex> Противоречие, следовательно, <tex>z</tex> должен быть свободен для подстановки вместо <tex>\alpha</tex>. Все аксиомы, порожденные данными схемами в новом языке, мы назовем аксиомами исчисления
предикатов.
