1632
правки
Изменения
м
Трапецоидная карта <div style="background-color: #ABCDEF; font-size: 16px; font-weight: bold; color: #000000; text-align: center; padding: 4px; border-style: solid; border- геометрическая структура позволяющая локализоваться на площади за width: 1px;">Эта статья находится в разработке!</div><texincludeonly>O(log(n))[[Категория: В разработке]]</texincludeonly> Трапецоидная карта {{---}} структура данных для локализации в конфигурации отрезков.
Предположим, у нас есть наши координаты, и есть карта мира. Мы можем найти по карте наше местоположение и сказать в какой области мы находимся. Области задаются отрезками. '''Формальная постановка задачи''' Есть множество конфигурация отрезков на плоскостии dcel-подобная структура, позволяющая по ребру из конфигурации получить соответствующий face. Есть запрос (точка q)Трапецоидная карта позволяет найти ребро, на выход подается область заданная какимидо которого можно дойти от точки-то отрезками в которой находится qзапроса, не пересекая образующие конфигурацию отрезки.
*верхний отрезокУ каждого трапецоида есть точка <tex>\operatorname{leftp}(top\Delta) и </tex>. Либо это конец какого-то отрезка, либо это левый нижний отрезок(bottom) - отрезки ограничивающие трапецоид сверху и снизуугол оболочки.
*трапецоиды называются смежнымиПри этом можно сразу сказать, если имеют общую вертикальную границучто левый и нижний угол будут соответствовать только одному трапецоиду.
*пусть <tex>\Delta_1 и \Delta_2</tex> смежны и либо top(<tex>\Delta_1</tex>) = top(<tex>\Delta_2</tex>)Далее заметим, либо bottom(что правый конец отрезка может быть <tex>\Delta_1</tex>) = bottomoperatorname{leftp}(<tex>\Delta_2</tex>Delta) Тогда <tex>\Delta_1</tex>,<tex>\Delta_2</tex> называют либо большими левыми соседями, либо меньшимитолько для одного трапецоида.
*''Поисковая структура''Считая, что <tex>P_i</tex> {{---}} вероятность того, что существует узел, который встречается при нашем запросе, созданный на <tex>i</tex>-ой итерации. <tex>\sum^{n}_{i=1}E[X_i] <= \sum^{n}_{i=1}3P_i</tex> Поисковая структураНачинаем оценивать <tex> P_i </tex>. Что значит, что узел был создан на <tex>i</tex>-ой итерации и встретился при запросе <tex>q</tex>? Это значит, что на <tex>i-1</tex>-ой итерации мы локализовывали <tex>q</tex> в трапецоиде <tex>\Delta_q(i-1)</tex>,а на <tex>i</tex>-ой итерации уже в дальнейшем трапецоиде <tex> D\Delta_q(i) </tex>и эти два трапецоида разные. То есть, после добавления непонятно чего в карту, трапецоид изменился. Таким образом <tex>P_i = P(\Delta_q(i) \ne \Delta_q(i - 1)) предсталяет </tex>. Если эти два трапецоида не равны, значит, на i-ой итерации трапецоид <tex>\Delta_q(i)</tex> был одним из себя ацикличный граф с одним корнем созданных при модификации. Заметим, что все трапецоиды, созданные на этой итерации, были смежны текущему отрезку(<tex>s_i</tex>). Значит, либо <tex>s_i = \operatorname{top} \Delta_i</tex> или <tex>\operatorname{bottom} \Delta_i</tex>, либо концы <tex>s_i = \operatorname{leftp} \Delta_i</tex> или <tex>\operatorname{rightp} \Delta_i</tex>. Зафиксируем множество отрезков на <tex>i</tex>-ой итерации. Тогда состояние трапецоидов никак не будет зависеть от порядка добавленных отрезков. Тогда вероятность изменения трапецоида {{---}} это его вероятность исчезнуть, если удалится <tex>s_i</tex>. Тогда переходим, к <tex>\operatorname{top} \Delta_i</tex> и каждому трапецоиду т.п. так как мы уже говорили, что <tex>s_i</tex> будет определенной стороной при навигации. Отрезки добавлялись рандомно, поэтому, в структре соответствует один листкачестве <tex>s_i</tex> мог быть любой отрезок из <tex>S_i</tex>.А, тогда, вероятность для всех сторон <tex>\frac1i</tex>. Суммируем по всем 4 сторонам. Таким образом <tex>P_i = P( \Delta_q(i) \ne \Delta_q(i - 1)) = P( \Delta_q(i) \in \Delta_q(i - 1) ) \le \frac4i</tex>
У каждого узла есль два ребенка и при этом узел может быть двух типов.<tex>\sum^{n}_{i=1}E[[Файл:Trapezoidmapsearchstructureshagal.jpg|650px|thumb|right|навигация в трапецоидной карте]X_i]\le \sum^{n}_{i=1}3P_i \le \sum^{n}_{i=1}\frac{12}i \le 12\sum^{n}_{i=1}(1/i) \approx 12 \cdot log(n)</tex>
Первый тип узла ===Память===Заметим, что количество трапецоидов, как мы доказали раньше, равно <tex>\mathcal{O}(n)</tex>, поэтому мы должны оценить количество узлов созданых на <tex>i</tex>- точка, соответствующая концу отрезкаой итерации.
Второй тип узла - отрезок.А результирующее выражение для памяти тогда будет
Во время запроса мы двигаемся по графу от его корня до момента, когда окажемся в листе, это и будет означать что точка находится внутри трапецоида.<tex>\mathrm{Mem} = \mathcal{O}(n) + \sum^{n}_{i=1}</tex> количество узлов созданное на <tex>i</tex>-ой итерации
Если мы находимся не в листеОбозначив за <tex>k_i</tex> количество узлов, то мы должны опрелетиться в каком созданное на <tex>i</tex>-ой итерации <tex>\mathrm{Mem} = \mathcal{O}(n) + \sum^{n}_{i=1} E[k_i]</tex> Введем новую функцию для трапецоида <tex> \Delta </tex> и отрезка s. Выделим множество <tex> S_i \in S </tex>. Пусть <tex> s \in S_i </tex> и <tex> \Delta \in T(S_i) </tex>. <tex> \delta(\Delta, s) </tex> равна 1, если при удалении <tex> s </tex> из детей мы окажемся дальше<tex> S_i </tex> <tex>, \Delta </tex> удалится, иначе <tex> \delta </tex> равна 0. <tex>E[k_i] = \frac{1}i \sum^{}_{s \in S_i} \sum^{}_{\Delta \in T(S_i)} \delta(\Delta, s) \le \frac{4|T(S_i|}i = \mathcal{O}(1)</tex>
Еcть два правила:А тогда <tex>\mathrm{Mem} = \mathcal{O}(n)</tex>
*Если текущий узел соответсвует вершинеИз этих двух выводов очевидно следует, то смотрим левее или провее мы находимсячто время построения карты равно <tex>\mathcal{O}(проверка по x-координатеn \log n)</tex>.
*Если текущий узел соответствует отрезку==Реализация==Здесь будут рассмотрены некоторые основные моменты реализацииЭто только идеи, то смотрим выше или ниже мы находимсяв коде все выглядит примерно в 50 раз хуже.(проверка по y-координатеколичеству строк). ===Класс "трапецоид"=== struct Trapezoid Trapezoid next*Плохие случаи: Trapezoid up Trapezoid downМы находимся на одной вертикале с вершиной Trapezoid end Segment topМы находимся на отрезке Segment bottom Point left(Решение: молиться, или просто обрабатывать вручную.) Point right
rollbackEdits.php mass rollback
==Постановка задачи==
==Структура данных==
[[Файл:TrapazoidmapshagalTrapezoidmapshagal.jpgpng|650px450px|thumb|right|трапецоидная карта]]
*''Геометрическая''
У нас есть множество отрезков ограничееных , ограниченных оболочкой <tex>R</tex>(это не выпуклая оболочка, а просто мнимая граница плоскости , за которую не вылезают отрезки). Мы договариваемся что никакие две точки не лежат на одной вертикале(в противном случаи все еще противнее) ''Трапецоидная карта'' множества отрезков <tex>S </tex> {{- --}} это эти отрезки + множество трапецоидов построенных следующим образом, из кажой каждой точки выпущены два луча, {{---}} вверх и вниз , до первого пересечения с другим отрезком или с оболочкой <tex>R</tex>.
{{Лемма
|statement= Любой <tex>\operatorname{face }</tex> трапецоидной карты ограничен одним или двумя вертикальными отрезками и обязательно двумя не вертикальными отрезками.
}}
[[Файл:Trapezoidmapnavigationshagal.jpgpng|650px|thumb|right|навигация в трапецоидной картеТрапецоидная карта]]
Именно отсюда берется название стрктурыструктуры, так как любой <tex>\operatorname{face }</tex> либо трапеция, либо треугольник.
Введем обозначения для навигации по карте.
*''левая граница'' (<tex>\operatorname{leftp}</tex>) {{- --}} точка , определяющая левуюы левую сторону трапецоида или , в случаи треугольника , просто являющаяся левой вершиной.*''правая граница'' (<tex>\operatorname{rightp}</tex>) {{-- -}} аналогично левой , только справа.*''верхний отрезок'' (<tex>\operatorname{top}</tex>) и нижний отрезок(<tex>\operatorname{bottom}</tex>) {{---}} отрезки, ограничивающие, трапецоид сверху и снизу.*трапецоиды называются ''смежными'', если имеют общую вертикальную границу.*пусть <tex>\Delta_1</tex> и <tex>\Delta_2</tex> смежны и либо <tex>\operatorname{top}(\Delta_1) = \operatorname{top}(\Delta_2)</tex>, либо <tex>\operatorname{bottom}(\Delta_1) = \operatorname{bottom}(\Delta_2)</tex>. Тогда <tex>\Delta_1</tex> и <tex>\Delta_2</tex> называют либо нижними, либо верхними левыми соседями. {{Теорема|statement=Трапецоидная карта, построенная на <tex>n</tex> отрезках содержит максимум <tex>6n+4</tex> вершины и максимум <tex>3n+1</tex> трапецоид.|proof=*''вершины'', а точнее откуда они берутся. **4 вершины уходит на оболочку <tex>R</tex>**<tex>2 \cdot n</tex> концы отрезков**<tex>2 \cdot 2n</tex> пересечения вертикальных лучей из концов отрезков с другими отрезками или оболочкой*''трапецоиды''Будем смотреть на левую сторону трапецоида.
Левый конец может быть <tex>\operatorname{leftp}(\Delta)</tex> максимум для двух трапецоидов.
Из этого следует, что количество трапецоидов <tex>n + 2n + 1 = 3n + 1</tex>.
}}Хранить трапецоиды можно в чем угодно. Вместе с самим трапецоидом, стоит хранить <tex>\operatorname{leftp}</tex>, <tex>\operatorname{rightp}</tex>, <tex>\operatorname{top }</tex> и <tex>\operatorname{bottom так же }</tex>. Также следует хранить соседей трапецоида.
----
[[Файл:Trapezoidmapsearchstructureshagal.png|650px|thumb|right|навигация в трапецоидной карте]]
*''Поисковая структура''
Поисковая структура представляет из себя ациклический граф с одним корнем и соответствующими трапецоидам листьями.
У каждого узла есть два ребенка. При этом узел может быть двух типов.
*Первый тип узла - точка, соответствующая концу отрезка.
*Второй тип узла - отрезок.
Во время запроса мы двигаемся по графу от его корня до момента, когда окажемся в листе. Это и будет означать, что точка находится внутри трапецоида.
Еcть два правила:
*Если текущий узел соответсвует вершине, то выбираем лексикографически нужную.
*Если текущий узел соответствует отрезку, то смотрим, выше или ниже мы находимся(проверка по <tex>y</tex>-координате).
==Алгоритм==
[[Файл:Trapezoidmapnotsuchbadcaseshagal.png|400px|thumb|right|простой случай]]
Во время построения трапецоидной карты(в дальнейшем <tex>T</tex>) алгоритм также строит структуру для поиска.
Наш алгоритм добавляет отрезки по одному и, после каждого добавления, модифицирует <tex>T</tex> и <tex>D</tex>.
''Порядок добавления отрезков''
От порядка добавления зависит время запроса. Как? Время запроса пропорционально глубине графа.
Считается, что, если добавлять отрезки в случайном порядке, то время будет хорошим. Почему и какое время будет достигаться, расписано дальше.
===Алгоритм===
*Добавили отрезок.
*Нашли все трапецоиды, которые пересек новый отрезок.
*Удалили их.
*Создали новые трапецоиды.
[[Файл:Trpezoidmapbadcaseshaga.png|400px|thumb|right|сложный случай]]
===Поиск трапецоидов, которые пересек отрезок===
Чтобы модифицировать карту, мы должны понять, где произошло изменение.
Оно произошло в тех трапецоидах, которые пересек текущий отрезок.
Пусть якобы есть множество трапецоидов <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 \ldots \Delta_k</tex>, упорядоченное по <tex>s_i</tex>
Пусть <tex>\Delta_{j+1}</tex> {{---}} один из правых соседей <tex>\Delta_j</tex>. Также, при этом несложно понять, каким соседом он является.
Если <tex>\operatorname{rightp} \Delta_j</tex> лежит выше <tex>s_i</tex>, то сосед нижний и наоборот.
Это значит, что, если мы знаем первый трапецоид, то мы можем найти остальные, просто обходя по карте соседей справа.
Чтобы найти первый трапецоид, нужно просто локализовать правый конец в текущей карте.
===update===
Рассмотрим подробнее последние две части
Есть два случая.
*'''Простой''' {{---}} отрезок не пересекает ни одного трапецоида, то есть целиком внутри.
Тогда удаляем этот старый трапецоид и на его место ставим дерево из двух концов отрезка, отрезка и четырех образовавшихся трапецоидов.
Важно не забыть правильно определить соседей новых трапецоидов.
В случае, если какие-то трапецоиды выродятся в треугольники, будет не четыре новых трапецоида, а 2 или 3.
*Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок (в данном случаи он один).
*Находим этот трапецоид в <tex> T </tex> и добавляем вместо него нужные трапецоиды.
*Спускаемся по <tex> D </tex> до соответствующего трапецоида.
*Вместо этого трапецоида добавляем ключ "x" и строим оттуда часть структуры, как показано на картинке.
*'''Сложный''' {{---}} отрезок пересекает сразу несколько трапецоидов.
Итак, наш отрезок пересекает трапецоиды <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 ... \Delta_k</tex>.
Сначала добавляем вертикальные лучи из концов текущего отрезка. Это нужно, чтобы модифицировать <tex>\Delta_0</tex> и <tex>\Delta_k</tex>.
Теперь мы должны удалить соответствующие листья и на их место поставить те новые, которые появились из-за изменения лучей.
Дальше мы модифицуруем вертикальные лучи, которые пересекают текущий отрезок. Этот процесс происходит достаточно быстро, так мы храним много информацию об этих лучах.
<tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 \ldots \Delta_k</tex>.
*Находим множество трапецоидов, которых пересек отрезок.
*Находим этот трапецоид в <tex> T </tex> и добавили вместо него нужные трапецоиды.
*Спускаемся по <tex> D </tex> до соответствующих трапецоидов.
*Вместо них добавляем новые ключи, как показано на картинке.
Заметим, что не нужно каждый раз хранить все трапецоиды, которые пересек отрезок. Можно менять структуру во время поиска этих трапецоидов.
Если идти по отрезку слева направо, то, как только отрезок пересек очередное вертикальное дополнение, новый трапецоид левее этого дополнения заканчивается и больше изменяться не будет. Мы можем сразу поменять структуру.
Таким образом, сложный случай сводится к простому.
===Модификация трапецоидной карты===
Совместим update и алгоритм поиска новых трапецоидов.
Находим первый трапецоид, в который попал новый отрезок.
Предположим, у нас простой случай, то есть менять нужно только один трапецоид.
В таком случае мы сразу его модифицируем.
Если новый отрезок пересекает несколько трапецоидов.
Рассмотрим момент, когда текущий трапецоид заканчивается и мы начинаем рассматривать его соседей.
Очевидно, что если мы модифицируем закончившийся трапецоид, мы по прежнему сможем рассматривать его соседей.
При этом модификацию мы проводим так же, как в простом случае.
'''Update'''(Segment s)
Point p <tex>\leftarrow</tex> s.start
Point q <tex>\leftarrow</tex> s.finish
Находим первый трапецоид <tex>\Delta_{0}</tex>
<tex>\Delta_{temp}</tex>
while q справа от rightp(<tex>\Delta_{0}</tex>)
if <tex>\Delta_{0}</tex> ниже <tex> s_{i} </tex>
<tex>\Delta_{temp}</tex> нижний правый сосед <tex>\Delta_{0}</tex>
else
<tex>\Delta_{temp}</tex> верхний правый сосед <tex>\Delta_{0}</tex>
Модифицируем <tex>\Delta_{0}</tex>
<tex>\Delta_{0} \leftarrow \Delta_{temp}</tex>
==Случай коллизии==
Рассмотрим момент, когда мы строим карты. Мы должны добавить очередной отрезок.
Предположим, левый конец отрезка лежит на одной вертикали с уже добавленной в карту точкой <tex> p </tex>.
Скажем, что наша точка лежит правее, чем та, которая уже есть. В случае, если мы попали на уже созданный отрезок, мы скажем, что находимся, например, ниже его.
Что при этом произойдет.
*С геометрической точки зрения, появится ещё несколько трапецоидов, как в случае, если бы вновь добавленная точка была правее на <tex> \varepsilon \rightarrow 0</tex>.
А значит, у трапецоида по прежнему не более двух правых соседей.
*С точки зрения поисковой структуры мы по-прежнему можем локализоваться. По крайней мере, узел, соответствующий точке <tex> p </tex> будет иметь правым сыном нашу точку.
Итого, слова "трапецоидные карты просты отсутствие случаев" появляются именно отсюда, так как, казалось бы, неприятный случай будет прописан заменой <tex>\textless </tex>
на <tex> \le </tex>
==Асимптотика==
===Запрос===
Предположим, у нас есть запрос на локализацию точки <tex>q</tex>. Время, затраченное на этот запрос, будет линейно зависеть от глубины графа.
При добавлении в карту очередного отрезка(в дальнейшем, итерация алгоритма), глубина графа увеличивается максимум на 3. Из этого мы можем сделать простую оценку.
Наибольшее время на запрос, которое мы можем потратить {{---}} <tex>3n</tex>.
Как говорилось раньше, отрезки мы добавляем в случайном порядке, а потому редко будет самый ужасный случай, и, с вероятностных точек зрения, время на запрос будет меньше.
Рассмотрим путь, пройденный точкой по графу. Каждый узел был создан на какой-то итерации цикла. Обозначим за <tex>X_i</tex> количество узлов, созданных на итерации <tex>i</tex>.
Так как никто не выбирал исходное множество отрезков и запрос <tex>q</tex>, <tex>X_i</tex> {{---}} рандомная величина, зависящая только от рандомного порядка добавления отрезков.
<tex>E[\sum^{n}_{i=1}X_i] = \sum^{n}_{i=1}E[X_i]</tex>
Как уже упоминалось, на каждой итерации добавляется не более 3 узлов, а значит <tex>X_i \leq 3</tex>.
==Алгоритм== Мы рассматриваем алгоритм построения карты и алгоритм запроса.===Алгоритм построения Построение трапецоидной карты=== Во время построения трапецоидной карты TrapezoidMap(в дальнейшем <tex> T</tex>S - segments) алгоритм так же строит структуру для поиска Строим оболочку(в дальнейшем <tex> D</tex>просто находим крайние точки множества отрезков по четырем направлениям). Так как трапецоидная карта - геометрическая структура, а основные операции ведутся именно с поисковой, упор на неё. Строим рандомную перестановку отрезков for для всех Наш алгоритм добавляет отрезки по одному и после каждого добававления модидицирует ищем множество трапецоидов пересекаемых отрезком <tex> Ts_i</tex> . //это специальная функция// Удаляем это множество из карты и добавляем новые узлы появившиеся из-за <tex> Ds_i</tex>.в поисковой структуре ===Порядок добавления отрезков=== Аналогично для просто карты От порядка добавления зависит время запроса. Как? Время запрос пропорцианально глубине графа. Считается, что еслли добавлять отрезки рандомно, то время будет хорошим. Почему и какое время будет рассписано дальше. ===Алгоритм=Ссылки== #Добавили отрезок[http://graphics. #Нашли все трапецоиды, которые пересек новый отрезокstanford. #Удалили их. #Создали новый трапецоиды. Рассмотрим подробнее последние две части Есть два случая. Простой edu/courses/cs268- отрезок не пересекает ни одного трапецоида, то есть целеком внутри. Тогда удаляем этот старый трапецоид и на его место ставим дерево из двух концов отрезка, отрезка и четырех образовавшихся трапецоидов. Важно не забыть правильно определить соседей новых трапецоидов. В случаи если какие09-то трапецоиду выродятся в треугольники будет не четыре новых трапецоида , а 2 или 3. Слава богу это не самая большая проблема. ***картинка*** Сложный - отрезок пересекает сразу несколько трапецоидов. Итак наш отрезок пересекает трапецоиды <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 ... \Delta_k<winter/tex>. Впервую очередь добавляем вертикальные лучи из концов текущего отрезка. Это нужно Lecture notes from stanford, чтобы модифицировать <tex>\Delta_0 и \Delta_k</tex>.Seidel] Дальше мы модифицуруем вертикальные лучи, которые пересекают текущий отрезок. Этот процесс происходит достаточно быстро, так мы храним много информацию об этих лучах в <tex>\Delta_0, \Delta_1, \Delta_2 ... \Delta_k</tex>. Теперь мы должны удалить соответствующие листья и на новые которые появились из-за изменения лучей.[[Категория: Вычислительная геометрия]]
