1
правка
Изменения
Нет описания правки
{{Задача|definition==Алгоритм==:Для заданного взвешенного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <tex>G = (V, E)</tex> алгоритм находит найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин.<br>:В случае , когда в графе <tex> G </tex> содержатся отрицательные [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|циклы ]] с отрицательным суммарным весом, достижимые из <tex> s </tex> алгоритм сообщает, сообщить, что кратчайших путей не существует.}}
==Введение==
==Псевдокод==
'''for''' k = 0 '''to''' <tex>(k = 0..n|V| -2)</tex> <font color="green">// вершины нумеруются с единицы</font> '''for''' <tex>(v \in V)</tex> '''for''' <tex>(u : vu \; , v) \in E)</tex> <tex> d[k+ 1][uv] \gets \= min(d[k+1][uv], \; d[k][vu] + <tex>\omega(u,v)</tex>) <font color="green">// <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv</font>
==Корректность алгоритма Форда-Беллмана==:В этом алгоритме используется релаксация, в результате которой <tex>d[v]</tex> уменьшается до тех пор, пока не станет равным <tex>\delta(s, v)</tex>. <br>:<tex>d[v]</tex> - оценка веса кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в каждую вершину <tex>v \in V</tex>.<br>:<tex>\delta(s, v)</tex> - фактический вес кратчайшего пути из <tex>s</tex> в вершину <tex>v</tex>.
{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G = (V, E)</tex> — взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина.
Тогда после завершения <tex>k</tex> итераций цикла <tex>\mathrm{for}</tex> выполняется неравенство <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[i][u]</tex>.
|proof=Воспользуемся индукцией по <tex>k</tex>:
'''Индукционный переход'''
:Сначала докажем, что <tex> \rho(s, u) \leqslant d'[u]</tex>.
:Пусть после <tex>k - 1 </tex> итерации выполняется <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[u] \leqslant \min\limits_{i=0..k-1} d[i][u]</tex> для всех <tex>u</tex>.
:Тогда после <tex>k</tex> итераций <tex> \rho(s, v) = \min\limits_{u \in V} (\rho(s, u) + \omega(uv)) \leqslant \min\limits_{u \in V} (d'[u] + \omega(uv)) = d'[v]</tex>.
:Переходим ко второму неравенству.
:Теперь возможно два случая:
:#<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[k+1][u]</tex>
:#<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[j][u] =\min\limits_{i = 0..j} \; d[i][u]</tex>
:Рассмотрим 1 случай:
::<tex>\min\limits_{i = 0..k+1} d[i][u] = d[k+1][u]</tex><br>
::<tex>d'[u] \leqslant d'[v] + \omega(vu) \leqslant d[k][v] + \omega(vu) = d[k+1][u]</tex>
:2 случай расписывается аналогично.
}}
==Реализация алгоритма и ее корректность==
'''bool''' fordBellman(s)''':'''
'''for''' <tex>v \in V</tex>
d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex>
d[s] = 0
'''for''' i = 0 '''to''' <tex> |V| - 1 </tex>
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
'''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> <font color="green">// <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv</font>
d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
'''for''' <tex> (u, v) \in E </tex>
'''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex>
'''return''' ''false''
'''return''' ''true''
В этом алгоритме используется релаксация, в результате которой <tex>d[v]</tex> уменьшается до тех пор, пока не станет равным <tex>\delta(s, v)</tex>.
<tex>d[v]</tex> {{---}} оценка веса кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в каждую вершину <tex>v \in V</tex>.<br>
<tex>\delta(s, v)</tex> {{---}} фактический вес кратчайшего пути из <tex>s</tex> в вершину <tex>v</tex>.
{{Лемма
|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{---}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> {{---}} стартовая вершина. Тогда после завершения <tex> |V| - 1 </tex> итераций цикла для всех вершин, достижимых из <tex>s</tex>, выполняется равенство <tex> d[v] = \delta (s, v) </tex>.
|proof=Рассмотрим произвольную вершину <tex>v</tex>, достижимую из <tex>s</tex>.
Пусть <tex>p = \langle v_0,..., v_{k} \rangle </tex>, где <tex>v_0 = s</tex>, <tex>v_{k} = v</tex> {{---}} кратчайший ациклический путь из <tex> s </tex> в <tex> v </tex>. Путь <tex> p </tex> содержит не более <tex> |V| - 1 </tex> ребер. Поэтому <tex>k \leqslant |V| - 1</tex>.
Докажем следующее утверждение:
:После <tex>n : (n \leqslant k)</tex> итераций первого цикла алгоритма, <tex>d[v_n] = \delta(s, v_n) </tex>
Воспользуемся индукцией по <tex>n</tex>:
'''База индукции'''
:Перед первой итерацией утверждение очевидно выполнено: <tex>d[v_0] = d[s] = \delta(s, s) = 0</tex>
'''Индукционный переход'''
:Пусть после <tex>n : (n < k)</tex> итераций, верно что <tex>d[v_n] = \delta(s, v_n)</tex>. Так как <tex>(v_n, v_{n + 1})</tex> принадлежит кратчайшему пути от <tex>s</tex> до <tex>v</tex>, то <tex>\delta(s, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n + 1})</tex>. Во время <tex>l + 1</tex> итерации релаксируется ребро <tex>(v_n,v_{n+1})</tex>, следовательно по завершению итерации будет выполнено
::<tex>d[v_{n+1}] \leqslant d[v_n] + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_n) + \omega(v_n, v_{n+1}) = \delta(s, v_{n+1})</tex>.
:Ясно, что <tex>d[v_{n+1}] \geqslant \delta(s, v_{n+1}) </tex>, поэтому верно что после <tex>l + 1</tex> итерации <tex>d[v_{n+1}] = \delta(s, v_{n + 1})</tex>.
:Индукционный переход доказан.
Итак, выполнены равенства <tex>d[v] = d[v_{k}] = \delta (s, v_{k}) = \delta (s, v)</tex>.<br>
}}
{{Теорема
|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{- --}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — {{---}} стартовая вершина.<br>Если граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> true </tex> и для всех <tex> v \in V[G] \ d[v] = \delta (s, v)</tex>.<br>Если граф <tex> G </tex> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> false </tex>.|proof=:Пусть граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>.<br>:Тогда если вершина <tex> v </tex> достижима из <tex> s </tex>, то по лемме <tex> d[v] = \delta (s, v)</tex>.<br>:Если вершина <tex> v </tex> не достижима из <tex> s </tex>, то <tex> d[v] = \delta (s, v) = \mathcal {1}</tex> из несуществования пути. Теперь докажем, что алгоритм вернет значение <tex> true </tex>.
После выполнения алгоритма верно, что для всех <tex> (u, v) \in E, \ d[v] = \delta (s, v) \leqslant \delta (s, u) + \omega (u,v) = d[u] + \omega (u,v)</tex>, значит ни одна из проверок не вернет значения <tex> false </tex>.
Предположим, что алгоритм возвращает <tex> true </tex>, тогда для <tex> i = 1,...,k </tex> выполняется <tex> d[v_{i}] \leqslant d[v_{i-1}] + \omega (v_{i-1}, v_{i}) </tex>.
Из того, что <tex> v_0 = v_{k} </tex> следует, что <tex> \sum\limits^{k}_{i=1} {d[v_{i}]} = \sum \limits_{i=1}^{k} {d[v_{i - 1}]} </tex>.
}}
==Сложность==
== Источники информации ==:* Томас Х. Кормен, ТЧарльз И., Лейзерсон, ЧРональд Л., Ривест, Р., Клиффорд Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.672 — 676. — ISBN 978-5-8459-0857-5.:* [http://e-maxx.ru/algo/export_ford_bellman ford_bellman MAXimal :: algo :: Алгоритм Форда-Беллмана]
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Кратчайшие пути в графах]]