Изменения

{{Задача|definition==Алгоритм==:Для заданного взвешенного [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|графа ]] <tex>G = (V, E)</tex> алгоритм находит найти кратчайшие пути из заданной вершины <tex> s </tex> до всех остальных вершин.<br>:В случае , когда в графе <tex> G </tex> содержатся отрицательные [[Основные определения: граф, ребро, вершина, степень, петля, путь, цикл|циклы ]] с отрицательным суммарным весом, достижимые из <tex> s </tex> алгоритм сообщает, сообщить, что кратчайших путей не существует.}}

:Сначала стоит вспомнить формулу для пути Количество путей длины <tex>k</tex>рёбер можно найти с помощью метода [[Динамическое_программирование|динамического программирования]].<br>::Пусть <tex>d[k][u]</tex> {{---}} количество путей длины <tex>k</tex> рёбер, заканчивающихся в вершине <tex>u</tex>. Тогда <tex> d[k][u] = \sum\limits_{v : vu \; \in E} d[k-1][v] </tex>. :Теперь перепишем ее для Аналогично посчитаем пути кратчайшей длины. Пусть <tex>s</tex> {{---}} стартовая вершина.::Тогда <tex> d[k][u] = \min\limits_{v : vu \; \in E}(d[k-1][v] \: + \: \omega[uv](u, v))</tex>, при этом <tex>d[0][s] = 0</tex>, а <tex>d[0][u] = +\inf infty </tex>{{Лемма|statement=Если существует кратчайший путь от <tex>s</tex> до <tex>t</tex>, то <tex> \rho(s, \, t) \: = \: \min\limits_{k = 0..n-1} d[k][t]</tex>|proof=Пусть кратчайший путь состоит из <tex>k</tex> ребер, тогда корректность формулы следует из динамики, приведенной ниже.}}

:Используя приведенные формулы, алгоритм можно реализовать методом динамического программирования.

'''for''' k = 0 '''to''' <tex>(k = 0..n|V| -2)</tex> <font color="green">// вершины нумеруются с единицы</font> '''for''' <tex>(v \in V)</tex> '''for''' <tex>(u : vu \; , v) \in E)</tex> <tex> d[k+ 1][uv] \gets \= min(d[k+1][uv], \; d[k][vu] + <tex>\omega(u,v)</tex>) <font color="green">// <tex>\omega(u, v)</tex> {{---}} вес ребра uv</font>

:Также релаксацию можно свести к одномерному случаю (одномерный , если не хранить длину пути в рёбрах. Одномерный массив будем обозначать <tex>d'</tex>)::, тогда <tex>d'[u] \gets = \min(d'[u], \; d'[v] + \omega(u,vvu))</tex>

==Корректность алгоритма Форда-Беллмана==:В этом алгоритме используется релаксация, в результате которой <tex>d[v]</tex> уменьшается до тех пор, пока не станет равным <tex>\delta(s, v)</tex>. <br>:<tex>d[v]</tex> - оценка веса кратчайшего пути из вершины <tex>s</tex> в каждую вершину <tex>v \in V</tex>.<br>:<tex>\delta(s, v)</tex> - фактический вес кратчайшего пути из <tex>s</tex> в вершину <tex>v</tex>.

{{Лемма'''База индукции''' |statement=Пусть :При <tex>G k = (V, E) 0</tex> — взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — стартовая вершина.<br>Тогда после завершения <tex> \mid V[G] \mid - 1 </tex> итераций цикла для всех вершин, достижимых из <tex>s</tex>, выполняется равенство выполнено: <tex> d[v] = \delta rho(s, vu) \leqslant +\infty \leqslant +\infty </tex>.|proof=:Рассмотрим произвольную вершину <tex>v</tex>, достижимую из <tex>s</tex>.

: Итак, выполнены равенства Таким образом переход выполнен и <tex>\rho(s, u) \leqslant d'[vu] \leqslant \min\limits_{i = 0..k} d[v_{k}i][u] = \delta (s, v_{k}) = \delta (s, v)</tex>выполняется.<br>

|statement=Пусть <tex>G = (V, E) </tex> {{- --}} взвешенный ориентированный граф, <tex> s </tex> — {{---}} стартовая вершина.<br>Если граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> true </tex> и для всех <tex> v \in V[G] \ d[v] = \delta (s, v)</tex>.<br>Если граф <tex> G </tex> содержит отрицательные циклы, достижимые из вершины <tex> s </tex>, то алгоритм возвращает <tex> false </tex>.|proof=:Пусть граф <tex> G </tex> не содержит отрицательных циклов, достижимых из вершины <tex> s </tex>.<br>:Тогда если вершина <tex> v </tex> достижима из <tex> s </tex>, то по лемме <tex> d[v] = \delta (s, v)</tex>.<br>:Если вершина <tex> v </tex> не достижима из <tex> s </tex>, то <tex> d[v] = \delta (s, v) = \mathcal {1}</tex> из несуществования пути.  Теперь докажем, что алгоритм вернет значение <tex> true </tex>.

:Теперь докажем, что алгоритм вернет значение Пусть граф <tex> true G </tex>содержит отрицательный цикл <tex> c = {v_0,...,v_{k}} <br/tex>:После выполнения алгоритма верно, что для всех где <tex> (uv_0 = v_{k} </tex>, v) \in E[G], \ d[v] = \delta (достижимый из вершины <tex> s, v) </tex>. Тогда <tex>\leqslant \delta (s, u) + sum\omega (u,v) limits_{i= d[u] + 1}^{k} {\omega (uv_{i-1},vv_{i})} </tex>, значит ни одна из проверок не вернет значения <tex> false 0 </tex>.

:Пусть граф <tex> G </tex> содержит отрицательный цикл <tex> c = {v_0,...,v_{k}} </tex>, где <tex> v_0 = v_{k} </tex>, достижимый из вершины <tex> s </tex>.<br>:Тогда <tex>\sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} < 0 </tex>.<br>:Предположим, что алгоритм возвращает <tex> true </tex>, тогда для <tex> i = 1,...,k </tex> выполняется <tex> d[v_{i}] \leqslant d[v_{i-1}] + \omega (v_{i-1}, v_{i}) </tex>.<br>:Просуммируем эти неравенства по всему циклу: <tex>\sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i}]} \leqslant \sum\limits_{i=1}^{k} {d[v_{i-1}]} + \sum\limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} </tex>.<br>:Из того, что <tex> v_0 = v_{k} </tex> следует, что <tex> \sum\limits^{k}_{i=1} {d[v_{i}]} = \sum \limits_{i=1}^{k} {d[v_{i - 1}]} </tex>.

:Получили, что <tex> \sum \limits_{i=1}^{k} {\omega (v_{i-1}, v_{i})} \ge geqslant 0 </tex>, что противоречит отрицательности цикла <tex> c </tex>.

:Инициализация занимает <tex> \Theta (V) </tex> времени, каждый из <tex> \mid |V[G] \mid | - 1 </tex> проходов требует <tex> \Theta (E) </tex> времени, обход по всем ребрам для проверки наличия отрицательного цикла занимает <tex>O(E)</tex> времени.<br>Итого Значит алгоритм Беллмана-Форда работает за <tex>O(V E)</tex> времени. ==Нахождение отрицательного цикла==Приведенная выше реализация позволяет определить наличие в графе цикла отрицательного веса. Чтобы найти сам цикл, достаточно хранить вершины, из которых производится релаксация.  Если после <tex>|V| - 1</tex> итерации найдется вершина <tex> v </tex>, расстояние до которой можно уменьшить, то эта вершина либо лежит на каком-нибудь цикле отрицательного веса, либо достижима из него. Чтобы найти вершину, которая лежит на цикле, можно <tex>|V| - 1</tex> раз пройти назад по предкам из вершины <tex> v </tex>. Так как наибольшая длина пути в графе из <tex>|V|</tex> вершин равна <tex>|V| - 1</tex>, то полученная вершина <tex> u </tex> будет гарантированно лежать на отрицательном цикле.  Зная, что вершина <tex> u </tex> лежит на цикле отрицательного веса, можно восстанавливать путь по сохраненным вершинам до тех пор, пока не встретится та же вершина <tex> u </tex>. Это обязательно произойдет, так как в цикле отрицательного веса релаксации происходят по кругу.  '''int[]''' negativeCycle(s)''':''' '''for''' <tex>v \in V</tex> d[v] = <tex>\mathcal {1}</tex> p[v] = -1 d[s] = 0 '''for''' i = 1 '''to''' <tex>|V| - 1</tex> '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> d[v] = d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> p[v] = u '''for''' <tex> (u, v) \in E </tex> '''if''' d[v] > d[u] + <tex>\omega(u, v)</tex> '''for''' i = 0 '''to''' <tex>|V| - 1</tex> v = p[v] u = v '''while''' u != p[v] ans.add(v) <font color="green">// добавим вершину к ответу</font> v = p[v] reverse(ans) '''break''' '''return''' ans

== Источники информации ==:* Томас Х. Кормен, ТЧарльз И., Лейзерсон, ЧРональд Л., Ривест, Р., Клиффорд Штайн, К. Алгоритмы: построение и анализ / пер. с англ. — изд. 2-е изд — М.: Издательский дом «Вильямс», 2009. — с.672 — 676. — ISBN 978-5-8459-0857-5.:* [http://e-maxx.ru/algo/export_ford_bellman ford_bellman MAXimal :: algo :: Алгоритм Форда-Беллмана]