Изменения
Нет описания правки
'''Задача о порядке перемножения матриц''' (англ. ''chain matrix multiplication'') — классическая задача, которая может быть решена с помощью динамического программирования. В этой задаче нам дается последовательность матриц, в которой мы хотим найти самый эффективный способ их перемножения.
У нас есть множество способов перемножить матрицы, потому что операция перемножения ассоциативна. Другими словами, нет разницы в каком порядке мы расставим расставляются скобки между множителями, результат будет один и тот же.
[[Правильные скобочные последовательности | Расстановок скобок]] достаточно много и их количество очень быстро растет. Точное количество всевозможных вариантов равно ''n''–ому [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0_%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B0 числу Каталана].
=== Перебор всех вариантов ===
В данной задаче нужно узнать минимальное количество операций (или минимальную стоимость), необходимых для перемножения матриц. Если перемножить только две матрицы, то мы можем можно осуществить это едиственным способом, следовательно минимальная стоимость — это стоимость перемножения этих двух матриц. В общем, можно найти минимальную стоимость используя следующий рекурсивный алгоритм:
* Взять последовательность матриц и разделить её на две части.
=== Оптимизации динамическим программированием ===
Одно из простых решений — это ''мемоизация''. Каждый раз, когда считаем минимальную стоимость перемножения определенной подпоследовательности, давайте будем запоминать ответ. Если мы когда либо ещё раз захотим посчитать это ещё раз, то уже будет иметь ответ и не будем пересчитывать. Поскольку существует всего <tex>O(n^2)</tex> подотрезков, где <tex>n</tex> — это количество матриц, то память занимаемая программой будет не так велика. Можно сказать, что с помощью этого простого трюка мы уменьшили асимптотику алгоритма (перебор) с <tex>O(n \cdot C_n)</tex> до <tex>O(n^3)</tex>, что является достаточно эффективным для реальных приложений.
=== Восстановление ответа ===
С помощью вышеописанного алгоритма можно восстановить порядок, в котором нам необходимо перемножать матрицы, чтобы достичь минимального количества арифметических операций, затрачиваемых на вычисление ответа. Когда мы узнаем, как нам нужно разбить отрезок на два подотрезка, то при восстановлении ответа мы , то заключаем эти два подотрезка(последовательности матриц) в скобки и передаем получившийся ответ выше по рекурсии.
=== Псевдокод ===
