Изменения

Положим <tex>G_1</tex> &mdash; это блок графа <tex>G'</tex> являющийся висячей вершиной дерева <tex>T</tex> (вспомним, что в дереве, в котором более одной вершины, всегда есть есть висячие вершины, и то, что висячими вершинами в графе блоков и т.с. не могут быть т.с.), a <tex>v</tex> {{---}} т.с. в <tex>G'</tex> смежная с <tex>G_1</tex> в <tex>T</tex>. <tex>G_1</tex> планарен по утверждению теоремы, т.к. блоки графа <tex>G'</tex> совпадают с блоками графа <tex>G</tex>. Заметим, что <tex>deg(v) > 1</tex>, т.к. <tex>v</tex> {{---}} т.с., следовательно не висячая. Рассмотрим два случая:

#<tex>deg (v) > 2</tex> в <tex>T</tex> (рис. 3). Обозначим за <tex>T'</tex> <tex>T\backslash \{u\}</tex>. Поскольку степень ни одной из т.с. <tex>G'</tex> принадлежащих <tex>T</tex> (кроме <tex>v</tex>, для нее степень уменьшилась ровно на <tex>1</tex>) не уменьшилась, а для вершины <tex>v</tex> в <tex>T'</tex> верно, что <tex>deg(v) >= 2</tex>, то <tex>T'</tex> удовлетворяет условиям на <tex>T</tex> из предположения индукции. Заметим, что <tex>VT' = VT - 1 = m - 1 < m</tex>. Заметим также, что <tex>T'</tex> связен, т.к. <tex>u</tex> была висячей вершиной в <tex>T</tex>.[[Файл:UVDeg3.png|200px|center|thumb|рис. 3. Красные {{---}} точки сочленений. Голубые {{---}} блоки.]]