Изменения
Нет описания правки
Обобщим последнюю формулу и докажем по индукции. Пусть верно : <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_k][a_{k+1},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{k-1}][a_{k+2}, \cdots, a_n]</tex>. Докажем для больших <tex> k </tex> : <tex> [a_0, \cdots, a_k][a_{k+1},\cdots, a_n]+[a_0,\cdots, a_{k-1}][a_{k+2}, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_k](a_{k+1}[a_{k+2}, \cdots, a_n]+[a_{k+3}, \cdots, a_n])+[a_0,\cdots, a_{k-1}][a_{k+2}, \cdots, a_n] = (a_{k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0,\cdots, a_{k-1}])[a_{k+2}, \cdots, a_n]+[a_0, \cdots, a_k][a_{k+3}, \cdots, a_n]</tex>. Используя условие теоремы для <tex>k < n-1</tex> получаем : <tex> a_{k+1}[a_0, \cdots, a_k] + [a_0,\cdots, a_{k-1}] = a_{k+1}[a_k, \cdots, a_0] + [a_{k-1}, \cdots, a_0] = [a_{k+1},\cdots, a_0] = [a_0, \cdots, a_{k+1}]</tex>
Следовательно получаем : <tex>[a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n] = [a_0, \cdots, a_{n-2}][a_{n-1}, a_n]+[a_0,\cdots, a_{n-3}][a_n] = [a_{n-2}, \cdots, a_0](a_{n-1}a_n + 1) + a_n[a_{n-3},\cdots, a_0]=a_n[a_{n-1},\cdots, a_0] + [a_{n-2}, \cdots, a_0] = [a_n, \cdots, a_0]</tex>.
}}
[[Категория: Теория чисел]]
