Изменения

В этом разделе мы будет рассматривать элементы [[мультипликативная группа поля|мультипликативной группы ]] [[поле|поля ]] <tex>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</tex>, то есть вычетов по модулю <tex>p</tex>, причем <tex>p \in \mathbb{P}</tex>.

|about= О цикличности мультипликативной группы поля <math>\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}</math>.

Итак, нам требуется доказать существование порождающего элемента для нашей группы {{- --}} то есть такого элемента <tex>g</tex>, что <mathtex>\forall a: 1\leqslant a\leqslant p-1 ;\exists x: g^x=a(\pmod p)</mathtex>. Пусть <mathtex>k=LCMlcm(ord(i))</mathtex> по всем <mathtex>i:0\leqslant < i\leqslant p-1</mathtex>. Пусть теперь <mathtex>k=p_1^{k_1}+p_2^{k_2}+...+\cdots p_m^{k_m}</mathtex>. Тогда из определения <tex>k</tex> и свойств <mathtex>lcm</tex> следует, что <tex>\exists a:{ }ord(a)\vdots p_i^{k_i}</math> - следует из определения <tex>k</tex>. Значит , <mathtex>ord(a)=x*\cdot p_i^{k_i}</mathtex> для некоторого <tex>x</tex>, тогда по второй лемме <mathtex>ord(a^x)=p_i^{k_i}</mathtex>. Таким образом , мы можем найти такое число, что его порядок равен <mathtex>p_i^{k_i}</mathtex>. Пусть <mathtex>ord(a_i)=p_i^{k_i}</mathtex>. Тогда <tex>h= \prod^m_{i=1}a_i</tex> {{--- }} искомый элемент. И правда {{--- }} <mathtex>ord(h)=k</mathtex> {{--- }} по первой лемме. Очевидно порядок числа не может быть больше <tex>p-1</tex>, значит <mathtex>k\leqslant p-1</mathtex>. С другой стороны условие <mathtex> x^k=1(\pmod p)</mathtex> - выполняется для всех ненулевых вычетов по модулю <tex>p</tex>, которых <tex>p-1</tex> штук, а количество это уравнение не может иметь более <tex>k</tex> решений этого сравнения - (поскольку полином от одной переменной степени <tex>k</tex> не может иметь более <tex>k</tex>корней над [[поле|полем]]). Таким образом , <mathtex>p-1\leqslant k</mathtex>. Значит ,<tex>k=p-1</tex>, что и требовалось.