== Оценка ряда <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math> с помощью <math> \int \limits_{1}^{n} f(x) dx </math> для монотонных функций. ==
{{УтверждениеПусть есть ряд состоящий из значений функций: <math> f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) </math>, притом <math> f_n </math> либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?|statement= ___|proof= ___Рассмотрим случай, когда ряд из <math> f_n </math> монотонно возрастает.Оценим ряд сверху: <math> {f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)}\leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx} </math> Аналогично оценим ряд снизу.
== Теорема о <tex> \sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x) </tex> ==
