355
правок
Изменения
→Неравенство Коши
=== Неравенство Коши ===
{{Теорема
|about=Монотонность средних степенных
|statement=Пусть <tex>n\in\mathbb{N},\ r,s\in\mathbb{R},\ r<s,\ a_1,...,a_n\ge0</tex> при <tex>r\ge0,\ a_1,...,a_n>0</tex> при <tex>r<0</tex>. Тогда <tex>M_r(a)\le M_s(a)</tex>, причем равенство имеет место лишь при <tex>a_1=...=a_n</tex>. В частности,
<tex>\sqrt[n]{a_1\dot...\dot a_n}\le{a_1+...+a_n\over n}</tex>.
Это неравенство называется '''неравенством Коши''' между средним геометрическим и средним арифметическим.
|proof=1. Пусть <tex>0<r<s</tex>. Поскольку <tex>{s\over r}>1</tex>, функция <tex>f(x)=x^{s/r}</tex> строго выпукла вниз на <tex>[0,+\infty)</tex>. Применим к ней [[#Неравенство Йенсена|неравенство Йенсена]], взяв <tex>p_k=1,\ x_k=a^r_k</tex>. Получим
<tex>\left({1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k^r\right)^{s/r}\le{1\over n}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum}}a_k^s</tex>,
причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при <tex>a_1=...=a_n</tex>. Остается возвести обе части в степень <tex>1\over s</tex>.
2. Пусть <tex>r=0,s=1</tex>, то есть докажем неравенство Коши. Если среди <tex>a_k</tex> есть нуль, то неравенство очевидно выполняется и обращается в равенство лишь если все <tex>a_k</tex> суть нули. Пусть <tex>a_1,...,a_n>0</tex>. Применим [[#Неравенство Йенсена|неравенство Йенсена]] к строго выпуклой вверх функции <tex>\ln</tex>, взяв <tex>p_k=1,\ x_k=a_k</tex>. Получим
<tex>{1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} \ln a_k\le \ln\left({1\over n} \underset{k=1}{\overset{n}{\sum}} a_k\right)</tex>,
что равносильно неравенству Коши, причем в силу строгой выпуклости равенство достигается лишь при <tex>a_1=...a_n</tex>.
3. Если <tex>r=0<s</tex>, то по доказанному неравенству Коши
<tex>M_0(a)=M_0^{1/s}(a^s)\le M_1^{1/s}(a^s)=M_s(a).</tex>
4. Если <tex>r<s\le0</tex>, то <tex>0\le-s<-r</tex>, и по доказанному
<tex>M_r(a)={1\over M_{-r}({1\over a})}\le {1\over M_{-s}({1\over a})}=M_s(a).</tex>
5. Если <tex>r<0<s</tex>, то <tex>M_r(a)\le M_0(a)\le M_s(a).</tex>
}}
=== Теорема о свойствах неопределенного интеграла ===
