355
правок
Изменения
→Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле
=== Замена переменных и интегрирование по частям в определенном интеграле ===
==== Интегрирование по частям ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>f,g</tex> дифференцируемы на <tex>[a,b],\ f',g'\in R[a,b]</tex>. Тогда
<tex>\int_a^bfg'=fg|_a^b-\int_a^bf'g.</tex>
|proof=
Будучи дифференцируемыми, функции <tex>f,\ g</tex> непрерывны и, следовательно, интегрируемы. По теореме об арифметическими действиями над интегрируемыми функциями <tex>f'g,fg'\in R[a,b]</tex>, а тогда и <tex>(fg)'=f'g+fg'\in R[a,b]</tex>. По [[#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|формуле Ньютона-Лейбница]]
<tex>\int_a^bfg'+\int_a^bf'g=\int_a^b(fg)'=fg|_a^b.</tex>
Остается перенести второе слагаемое из левой части в правую.
}}
==== Замена переменной ====
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>\varphi:[\alpha,\beta]\to[A,B],\varphi</tex> дифференцируема на <tex>[\alpha,\beta],\varphi'\in R[\alpha,\beta], f\in C[A,B]</tex>. Тогда
<tex>\int_\alpha^\beta(f\circ\varphi)\varphi'=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f.</tex>
|proof=
Поскольку <tex>f\circ\varphi\in C[\alpha,\beta]\subset R[\alpha,\beta]</tex>, по теореме об арифметических действиях над интегрируемыми функциями <tex>(f\circ\varphi)\varphi'\in R[\alpha,\beta]</tex>. Также и <tex>f\in R[\varphi(\alpha),\varphi(\beta)]</tex>. Пусть <tex>F</tex> - первообразная <tex>f</tex> на <tex>[A,B]</tex>. Тогда по правилу дифференцирования композиции <tex>F\circ\varphi</tex> - первообразная <tex>(f\circ\varphi)\varphi'</tex> на <tex>[A,B]</tex>. Применяя к обоим интегралам [[#Формула Ньютона-Лейбница для кусочно-непрерывных функций|формулу Ньютона-Лейбница]], получаем:
<tex>\int_\alpha^\beta(f\circ\varphi)\varphi'=F\circ\varphi|_\alpha^\beta=F|_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f.</tex>
}}
=== Интегральность числа пи ===
