6
правок
Изменения
→Формулировка
== Формулировка ==
'''Теорема о временной иерархии''' утверждает, что для любых двух [[Конструируемая по времени функция|конструируемых по времени функций]] <math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math> таких, что <math> \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0</math>, выполняется <math>DTIME(g(n)) \ne DTIME(f(n))</math>.
== Доказательство ==
Зафиксируем <math>f\,\!</math> и <math>g\,\!</math>.
Рассмотрим язык <math>L = \{ <m,x> \mid m(<m,x>)</math> не допускает, работая не более <math> f(|<m,x>|)\,\!</math> времени <math>\}\,\!</math> .
Пусть <math>L \in DTIME(f)</math>, тогда для него есть машина Тьюринга <math>m_0\,\!</math> такая, что <math>L(m_0)=L\,\!</math>.
Рассмотрим <math>m_0(<m_0,x>)\,\!</math>.
Пусть <math>m_0\,\!</math> допускает <math><m_0,x>\,\!</math>. Тогда <math><m_0,x> \in L</math>, в силу определения <math>m_0\,\!</math>. Но в <math>L</math> по определению не может быть пары <math><m_0,x>\,\!</math>, которую допускает <math>m_0\,\!</math>, так как <math>m_0 \in DTIME(f)</math>. Таким образом, получаем противоречие.
Если <math>m_0\,\!</math> не допускает <math><m_0,x>\,\!</math>, то <math><m_0,x>\,\!</math> не принадлежит языку <math>L\,\!</math>. Это значит, что либо <math>m_0\,\!</math> допускает <math><m_0,x>\,\!</math>, либо не допускает, работая больше времени <math>f(|<m_0,x>|)\,\!</math>. Но <math>L \in DTIME(f)</math>, поэтому <math>m_0\,\!</math> на любом входе <math>x\,\!</math> работает не более <math>f(|x|)\,\!</math> времени. Получаем противоречие.
Следовательно такой машины не существует. Таким образом, <math>L \notin DTIME(f)</math>.
<math>L \in DTIME(g)</math>, так как можно просимулировать машину Тьюринга <math>m_1\,\!</math> такую, что <math>L(m_1)=L\,\!</math>. Для каждой пары <math><m_3,x> \in L</math> рассмотрим <math>m_3(<m_3,x>)\,\!</math>. Если <math>m_3\,\!</math> завершила работу и не допустила, то <math>m_1\,\!</math> допускает <math><m_3,x>\,\!</math>. В другом случае не допускает. Так как любая такая машина работает не более <math>f(|<m_3,x>|)\,\!</math> времени, а <math> \lim_{n \rightarrow \infty} t(f(n))/g(n) = 0</math>, <math>m_1\,\!</math> будет работать не более <math>g(|<m_3,x>|)\,\!</math> времени.
Получается, что <math>L \in DTIME(g(n)) \setminus DTIME(f(n))</math> и <math>L \neq \empty</math>. Следовательно, <math>DTIME(g(n)) \neq DTIME(f(n))</math>
Теорема доказана.
