1679
правок
Изменения
→1 | intree | Sum(w_i C_i)
* Заменим все стоимости <tex> w_i </tex> на противоположные <tex> w'_i = - w_i</tex>.
Утверждается, что решив соответствующую задачу <tex> S' </tex> и развернув полученное расписание, мы получим ответ для текущей задачи.
# Полученное расписание будет допустимым, так как расписание для <tex> S' </tex> было допустимым, и в нем никакие две работы не пересекались и не прерывались. Развернув, мы не могли нарушить это свойство. Также из-за того, что мы развернули расписание, мы добились того, что все работы выполняются в правильном порядке (в расписании для <tex> S' </tex> из-за того, что расписание было развернутовсе ребра были развернуты, порядок был нарушен для всех работ). Таким образом, получили что расписание — допустимое.# Пусть с помощью задачи <tex> S' </tex> мы получили последовательность работ <tex> 1 \dots n </tex> (не теряя общности, занумеруем их от 1 до n). Распишем по определению значение целевой функции для <tex> S' </tex>:
#: <tex>\sum -w_i C_i = \sum \limits_{i=1}^n ( -w_i \sum \limits_{j=1}^i p_j ) = \\
\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i+1}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i = \\
\sum\limits_{i=1}^n ( w_i \sum\limits_{j=i}^n p_j ) - \sum\limits_{i=1}^n w_i p_i - \sum\limits_{i=1}^n w_i \sum \limits_{i=1}^n p_i </tex>
#: Заметим, что первое слагаемое соответствует целевой функции <tex> \sum w_i C_i </tex> для последовательности <tex> n \dots 1 </tex>, а второе и третье слагаемые — константы, зависящие только от начальных входных данных и не зависящие от перестановки работ. Таким образом, оптимальное значение для <tex> S' </tex> также минимизирует <tex> S </tex>, ч.т.д.
==== R || Sum(C_i) ====
