221
правка
Изменения
Новая страница: «{{Определение |definition= Группа <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует систе…»
{{Определение
|definition=
Группа <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <tex>a</tex>. Тогда все элементы группы имеют вид <tex>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</tex>.
}}
Любая циклическая группа [[абелева группа|абелева]], т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.
Примерами циклических групп являются группы <tex>\mathbb{Z}</tex> и <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Вообще, любая конечная циклическая группа [[изоморфизм групп|изоморфна]] <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная {{---}} <tex>\mathbb{Z}</tex>.
=== Классификации циклических групп ===
{{Теорема
|id=th1
|about=О изоморфности циклических групп
|statement=
Любая конечная циклическая группа <tex>G</tex> изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная {{---}} <tex>\mathbb{Z}</tex>.
|proof=
Доказательство разбивается на два случая: порядок <tex>a</tex> конечен или бесконечен.
Пусть порядок <tex>a</tex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> {{---}} изоморфизм. Очевидно, что <tex>\phi</tex> {{---}} гомоморфизм: <tex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</tex>. По определению циклической группы <tex>\phi</tex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <tex>n>m,\,a^n=a^m</tex>, тогда <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>, т.е. порядок <tex>a</tex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <tex>\phi</tex> {{---}} биекция, а значит, и изоморфизм.
Пусть теперь порядок <tex>a</tex> конечен и равен <tex>r</tex>. Рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> {{---}} гомоморфизм. Пусть <tex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}</tex>. Тогда <tex>c\equiv n+m\pmod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</tex>. Тогда:
:<tex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</tex>
<tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
:<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>.
Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> {{---}} не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> {{---}} биекция, следовательно, и изоморфизм.
}}
[[Категория: Теория групп]]
|definition=
Группа <tex>G</tex> называется '''циклической''', если у нее существует система образующих, состоящая из одного элемента <tex>a</tex>. Тогда все элементы группы имеют вид <tex>a^n,\,n\in\mathbb{Z}</tex>.
}}
Любая циклическая группа [[абелева группа|абелева]], т.к. степени одного и того же элемента коммутируют между собой.
Примерами циклических групп являются группы <tex>\mathbb{Z}</tex> и <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex>. Вообще, любая конечная циклическая группа [[изоморфизм групп|изоморфна]] <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная {{---}} <tex>\mathbb{Z}</tex>.
=== Классификации циклических групп ===
{{Теорема
|id=th1
|about=О изоморфности циклических групп
|statement=
Любая конечная циклическая группа <tex>G</tex> изоморфна <tex>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</tex> при некотором <tex>n</tex>, а любая бесконечная {{---}} <tex>\mathbb{Z}</tex>.
|proof=
Доказательство разбивается на два случая: порядок <tex>a</tex> конечен или бесконечен.
Пусть порядок <tex>a</tex> бесконечен. Тогда рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n) = a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> {{---}} изоморфизм. Очевидно, что <tex>\phi</tex> {{---}} гомоморфизм: <tex>\phi(n+m)=a^{n+m}=a^n\cdot a^m=\phi(n)\cdot\phi(m)</tex>. По определению циклической группы <tex>\phi</tex> сюръективен. Докажем инъективность: пусть <tex>n>m,\,a^n=a^m</tex>, тогда <tex>a^{n-m}=a^n\cdot a^{-m}=a^m\cdot a^{-m}=e</tex>, т.е. порядок <tex>a</tex> конечен, что приводит к противоречию. Поэтому <tex>\phi</tex> {{---}} биекция, а значит, и изоморфизм.
Пусть теперь порядок <tex>a</tex> конечен и равен <tex>r</tex>. Рассмотрим отображение <tex>\phi:\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}\rightarrow G,\, \phi(n)=a^n</tex>. Докажем, что <tex>\phi</tex> {{---}} гомоморфизм. Пусть <tex>n,m,c\in\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}</tex>. Тогда <tex>c\equiv n+m\pmod r \Leftrightarrow c=n+m-k\cdot r,\, k\in\mathbb{Z},\, k\geq 0</tex>. Тогда:
:<tex>\phi(c) = \phi(n+m-k\cdot r)=a^{n+m-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot a^{-k\cdot r}=a^n\cdot a^m\cdot (a^r)^{-k}=a^n\cdot a^m\cdot {e}^{-k}=a^n\cdot a^m</tex>
<tex>\phi</tex> сюръективно по определению циклической группы. Докажем инъективность. Пусть <tex>a^n=a^m,\, n<m<r</tex>, тогда
:<tex>a^{m-n}=a^m\cdot a^{-n}=a^n\cdot a^{-n}=e</tex>.
Но <tex>r>m-n>0</tex>, т.е. <tex>r</tex> {{---}} не минимальная степень <tex>a</tex>, равная <tex>e</tex>. Противоречие. Значит, <tex>\phi</tex> {{---}} биекция, следовательно, и изоморфизм.
}}
[[Категория: Теория групп]]
