184
правки
Изменения
→Триангуляция монотонного многоугольника
Построение описанной выше приоритетной очереди <tex>Q</tex> происходит за линейное время. Когда заметающая прямая останавливается в вершине: операции с очередью занимают константу по времени, операции с деревом <tex>T</tex> на запросы и обновления требуют <tex>\mathcal{O}(\mathcal \log(n))</tex>. Добавление диагонали в <tex>D</tex> требует <tex>\mathcal{O}(1)</tex>. В итоге обработка каждой вершины требует <tex>\mathcal{O}(\log(n))</tex>, а весь алгоритм соответственно <tex>\mathcal{O}(n \log(n))</tex>. Что касается памяти, она очевидно составляет <tex>\mathcal{O}(n) </tex>. Очередь <tex>Q</tex> и дерево <tex>T</tex> занимают линейную память.
[[Файл:Triangulationg intro.jpg|170px|thumb|right|Зелёным помечена так называемая воронка, которая образуется, когда мы достигнем красной вершины]]
==== Триангуляция монотонного многоугольника ====
===== Идея =====
Будем проходить сверху вниз по вершинам многоугольника проводя диагонали где это возможно.
Часть многоугольника <tex>P</tex>, лежащая выше последней обработанной вершины <tex>v_i</tex> и которая ещё не была триангулирована имеет форму перевёрнутой воронки (см. рисунки). Одна сторона воронки состоит из одной из сторон <tex>P</tex>, а другая состоит из цепи вершин, которые лежат выше <tex>v_i</tex> и внутренние углы которых не меньше <tex>\pi</tex>. Несложно догадаться, что самая нижняя вершина стека является единственной выпуклой. Несложно также заметить, что при обработке следующей вершины свойство перевёрнутой воронки сохранится, то есть оно является инвариантом алгоритма.
[[Файл:Triang_alg_case1.jpg|200px|thumb|right|Первый случай. Синим помечены стороны воронки, зелёным — диагонали, а жёлтым границы новой ещё не протриангулированной области]]
===== Алгоритм =====
Рассмотрим процесс обработки вершины более подробно. Возможны два случая:
* Текущая вершина <tex>v_j</tex> является нижним концом стороны <tex>e</tex>, ограничивающего воронку. Вершины противоположной цепи уже были положены в стек. В этом случае можно просто построить диагонали, соединяющие <tex>v_j</tex> со всеми вершинами, находящимися в стеке, кроме последней. Последняя вершина в стеке уже соединена с <tex>v_j</tex> стороной <tex>e</tex>. Часть многоугольника <tex>P</tex>, лежащая выше <tex>v_j</tex>, которая не была триангулирована, ограничена диагональю, которая соединяет <tex>v_j</tex> с вершиной <tex>v_{s1}</tex>, которая была первой в стеке. Сторона многоугольника <tex>P</tex>, выходящая из <tex>v_{s1}</tex> направлена вниз. Снова образуется фигура c одним выпуклым углом, похожая на воронку — инвариант сохраняется. Вершины <tex>v_j</tex> и <tex>v_{s1}</tex> кладутся в стек, поскольку они были были обработаны, но по прежнему являются вершинами непротриангулированной части <tex>P</tex>.
