153
правки
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
==Определение натуральных чисел==
===Неформатное определение===
'''Натура́льные чи́сла''' (естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
* '''перечислении (нумеровании) предметов''' (''первый'', ''второй'', ''третий''…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России);
* '''обозначении количества предметов''' (''нет предметов'', ''один предмет'', ''два предмета''…). Принят в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощность конечных множеств.
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком <math>\mathbb{N}</math>. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
===Аксиомы Пеано===
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
==Определение целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел==
===Определение целых чисел===
Множество '''целых чисел''' <math>\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}</math> определяется как замыкание множества натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math> относительно арифметических операций [[Сложение (математика)|сложения]] (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида '''-n''' (<math>n\in\mathbb{N}</math>) и числа нуль.
Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются [[кольцо (алгебра)|кольцом]] относительно операций сложения и [[умножение|умножения]].
Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель ([[1487]]—[[1567]]) в книге «Полная арифметика» (1544), и Никола Шюке ([[1445]]—[[1500]]).
===Определение рациональных чисел===
Множество рациональных чисел обозначается <math>\mathbb{Q}</math> и может быть записано в виде:
: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N} \right\}.</math>
Нужно понимать, что численно равные дроби такие как, например, <math>\frac{3}{4}</math> и <math>\frac{9}{12}</math>, входят в это множество как одно число. Поскольку делением числителя и знаменателя дроби на их наибольший общий делитель можно получить единственное несократимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве ''несократимых'' дробей со [[Взаимно простые числа|взаимно простыми]] целым числителем и натуральным знаменателем:
: <math>\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \mid m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \gcd(m,n) = 1 \right\}.</math>
Здесь <math>\gcd(m, n)</math> — наибольший общий делитель чисел <math>m</math> и <math>n</math>.
Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Легко видеть, что если у рационального числа <math>a=\frac{m}{n}</math> знаменатель <math>n=1</math>, то <math>a=m</math> является целым числом. В этой связи возникают некоторые обманчивые предположения. Однако, хотя кажется, что рациональных чисел больше чем целых, и тех и других счётное число (то есть оба они могут быть перенумерованы натуральными числами, причём явно).
===Определение вещественных чисел===
'''Веще́ственное число''' — математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений.
С точки зрения современной математики, множество вещественных чисел — суть, непрерывное упорядоченное поле. Это определение, или эквивалентная система аксиом, в точности определяет понятие вещественного числа в том смысле, что существует только одно, с точностью до изоморфизма, непрерывное упорядоченное поле.
Множество вещественных чисел имеет стандартное обозначение — <big>'''''R'''''</big> (полужирное «R»), или <math>\mathbb{R}</math> ({{lang-en|blackboard bold}} «R») от {{lang-la|realis}} — действительный.
===Определение комплексных чисел===
[[Категория: Классы чисел]]
