Изменения

|statement=Существуют <tex>q \in \mathbb{N}, \rho \in (0, 1)</tex> такие, что задача <tex>\rho-GAPqCSP</tex>-GAP qCSP &mdash; <tex>\mathrm{NP}</tex>-трудная.

{{УтверждениеЛемма|statement=Теорема выше эквивалентна теореме о том, что Из <tex>\mathrm{NPPCP}</tex> = -теоремы следует <tex>\mathrm{PCPNP}_{\frac 1 2 ,1}(</tex>-трудность задачи <tex>\log(n), 1)rho-GAPqCSP</tex>.

1) Пусть NP Покажем, что <tex>\subseteqfrac 1 2 -GAPqCSP</tex> PCP(1, <tex>log(n)\mathrm{NP}</tex>). Докажем, что задача 3SAT сводится к -трудная для некоторой константы <tex>\frac{1}{2}q</tex>-GAP qCSP, а, значит, . Для этого достаточно свести <tex>\rhomathrm{NP}</tex>-GAP qCSP является NP-сложной. По нашему предположению для задачи полную задачу, например <tex>3SAT</tex> существует верифаер к <tex>V\frac 1 2 -GAPqCSP</tex> с доказательством для некоторой константы <tex>\piq</tex> и обращается он к нему . Из <tex>q\mathrm{PCP}</tex> раз-теоремы следует, а случайной лентой пользуется что для <tex>c \log(n)3SAT</tex> раз. Теперь для любого входа существует <tex>x \in \mathrm{0, 1\PCP}^n</tex> и случайной ленты -система, в которой верифаер <tex>r \in \{0, 1\}^{clog(n)}V</tex> определим функцию делает константное число запросов <tex>V_{x, r}q</tex> такую, что для доказательства и использует <tex>c \pilog n</tex> возвращает 1, если верифаер принимает доказательство монет для некоторйо константы <tex>\pic</tex>, имея на входе . Дял входа <tex>x</tex> и ленту монет <tex>r</tex>. Получается что набор определим <tex>\varphi={V_{x, r}}</tex> для всех как функцию, принимающую на вход доказательство <tex>x\pi</tex> и возвращающую <tex>1</tex>, если верифаер <tex>rV</tex> является принимает доказательство <tex>qCSP\pi</tex> полиномиального размера. Так как верифаер работает за полиномиальное время, то на входе <tex>x</tex> сводится к с монетами <tex>\varphir</tex> за полиномиальное время. И если Заметим, что <tex>V_{x \in,r}</tex> 3SATзависит не больше, то чем от <tex>val(\varphi) = 1q</tex>, и позиций. Таким образом для любого <tex>x \not\in{0,1}^n</tex> 3SAT, то набор <tex>val(\varphi) phi=\leq lbrace V_{x,r}\fracrbrace_{r \in \lbrace 0,1\rbrace^{c\log n}{2}</tex>. 2) Пусть <tex>\rho</tex>-GAP qCSP &mdash; NP-трудная. Переведём её в задачу PCP c q запросами к доказательству и с вероятностью экземпляр <tex>\rhoqCSP</tex>полиномиального размера. Нам дают на вход Так как <tex>xV</tex>работает за полиномиальное время, верифаер преобразовывает вход в qCSP задачу. В доказательстве преобразование <tex>\pix</tex> будут храниться значения переменных набора в <tex>\varphi = \{\varphi_i\}_{i = 1}^{m}phi</tex>также работает за полиномиальное время. Теперь мы случайно выбираем полнота и обоснованность: если <tex>i x \in [1..m]3SAT</tex> и проверяем , то <tex>\varphi_iphi</tex> на наборе из доказательства, сделав выборку из q элементов. Если удовоетворяет <tex>x val(\in Lphi)=1</tex>, то верифаер принимает с вероятностью 1, иначе принимает с вероятностью а если <tex>x \rhonotin 3SAT</tex>. Мы можем из то <tex>\rhophi</tex> сделать удовлетворяет <tex>val(\phi) \le \frac{1}{2}</tex>.