143
правки
Изменения
м
\log
|id=pcp_th
|about=<tex>\mathrm{PCP}</tex> теорема
|statement=<tex>\mathrm{PCP}[\log(n), O(1)] = \mathrm{NP}</tex>
}}
доказательство <tex>\pi</tex> прувера <tex>\mathcal{P}</tex>. Обозначим <tex>\pi_i</tex> <tex>i</tex>-й бит доказательства (не его значение), будем рассматривать <tex>\pi_i</tex> как переменные в <tex>3SAT</tex> формуле.
По данному графу <tex>G</tex>, <tex>\mathcal{R}</tex> нумерует все <tex>N = 2^Q = 2^{O(\log(n)} = poly(n)</tex> возможные
случайные строки, которые может выбрать верифаер <tex>V</tex>. Обозначим их <tex>Q_1 ... Q_{poly(n)}</tex>.
===Коды с коррекцией ошибок===
{{Определение
|definition=Кодом с коррекцией ошибок называется набор строк <tex>C \subset \Sigma^n</tex>, где <tex>\Sigma</tex> некоторый конечный алфавит. <tex>n</tex> называется размером блока, а <tex>\log_{|\Sigma|}|C|</tex> уровнем кода. Расстоянием кода называется <tex>min_{x \neq y \in C} dist(x,y)</tex>, где <tex>dist(\cdot,\cdot)</tex> — расстояние Хэмминга.
}}
|proof=Сведем удовлетворимость графа условий к нашей задаче. Пусть <tex>G</tex> задача удовлетворимости некоторого графа с <tex>|\Sigma|=3</tex>. Идей состоит в повторении применения основной теоремы до тех пор, пока число неудовлетворенности не станет постоянным.
Пусть <tex>G_0 = G</tex> и <tex>G_i(i \ge 1)</tex> — результат применения основной теоремы к <tex>G_{i-1}</tex>. Тогда для <tex>i \ge 1</tex> <tex>G</tex> — граф условий с алфавитом <tex>\Sigma_0</tex>. Пусть <tex>E_0</tex> — множество ребер <tex>G_0<tex> и <tex>k=\log|E_0|=O(\log n)</tex>.
Полнота показывается тривиально: если <tex>UNSAT(G_0)=0</tex>, то для всех <tex>i</tex> <tex>UNSAT(G_i)=0</tex>. Для обоснованности рассмотрим <tex>UNSAT(G_0) > 0</tex>. Если для некоторого <tex>i*<k</tex>, <tex>UNSAT(G_{i*}) \ge \frac \alpha 2</tex>, то из основной теоремы следует, что для всех <tex>i>i*</tex> <tex>UNSAT(G_i)\ge \alpha</tex>. На остальные <tex>i</tex> это распространяется по индукции <tex>UNSAT(G_i) \ge min(2^i UNSAT(G_0), \alpha)</tex>.
