Изменения
Нет описания правки
Поскольку отношение лексикографического порядка является линейным, можно доказать, что вектор <math>\vec x</math> является лексикографическим решением, если для всех <math>\vec x' \in X</math> выполняется:
: <math>\vec f(\vec x) <_{\mathrm{lex}} \vec f(\vec x').</math>
== Получение оптимальных по Парето решений ==
Для получения оптимальных по Парето решений используют методы скаляризации. Целевую функцию задачи многокритериальной оптимизации превращают в функцию со скалярным значением.
Функция скаляризации должна удовлетворять следующим условиям.
Пусть <math>F</math> - функция скаляризации. Если для <math> \forall \vec y^1, \vec y^2 \in \vec f(X)</math> выполняется:
: <math>\vec y^1 \le \vec y^2 \implies F (\vec y^1 ) < F (\vec y^2),</math>
тогда решение <math>\vec x^0</math>, что минимизирует <math>F</math> до <math>X</math>, является решением по Парето.
Если <math>F</math> сохраняет отношение порядка <math><</math> в <math>\vec y</math>, то есть, если для произвольных <math>\vec y^1, \vec y^2 \in \vec f(X)</math> выполняется:
: <math>\vec y^1 < \vec y^2 \implies F (\vec y^1 ) < F (\vec y^2 ),</math>
тогда решение <math>\vec x^0</math>, что минимизирует <math>F</math> до <math>X</math>, является ''слабым по Парето''. Если <math>F</math> непрерывна на <math>\vec y</math> и <math>\vec x^0</math> единственная точка минимума <math>F</math> на <math>X</math>, тогда <math>\vec x^0</math> является решением по Парето.
=== Взвешенная сумма ===
: <math>F_1(\vec f(\vec x)) = w_1 f_1 (\vec x) + \dots + w_r f_r (\vec x).</math>
'''Недостатки:''' невозможность охватить все оптимальные по Парето точки из множества Парето-фронта.
В задачах комбинаторной многокритериальной оптимизации множество целевых значений не является выпуклым, поэтому метод взвешенных сумм не подходит для скаляризации целевых функций для этих задач.
=== Функция скаляризации Чебышева ===
: <math>F_\infty (\vec f(\vec x)) = \max_{1\leq i \leq r} w_i f_i(\vec x).</math>
Взвешенная функция скаляризации Чебышева сохраняет отношения <math><</math> и поэтому минимум <math>F_\infty</math> является слабым по Парето.
=== Метод изменения ограничений (ε-ограничения) ===
По методу изменения ограничений одну из целевых функций оставляют в качестве целевой, а остальные превращают в ограничения. То есть, пусть <math>f_r</math> будет целевой, а остальные <math>f_1, \dots, f_{r-1}</math> представим как ограничение неравенства:
:: <math>\min_x f_r(\vec x),</math>
: при условиях <math>f_i(\vec x) \leq \varepsilon_i, i = 1, \dots, r - 1,</math>
:::: <math>\vec x \in X.</math>
== Методы решения ==
=== Интерактивность ===
Решение задачи происходит с участием эксперта (или группы экспертов) — человека, который выбирает и принимает решения на основе информации, представленной системой поддержки принятия решений.
=== Эволюционные методы ===
''предстоит написать''
