Изменения

<tex>\sigma_n(f,x) = \frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}S_nS_k(f,x)</tex>.

Подставим в эту формулу интеграл Дирихле: <tex>\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n \int\limits_{Q}f(x+t)D_nD_k(t)dt = \int\limits_{Q}f(x+t)\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}D_k(t)dt</tex>

Пользуясь определением, запишем <tex>\sigma_k(f,x)=\int\limits_{Q}f(x+t)\Phi_n(t)dt</tex>. Так как ядро Дирихле четное, то по формуле, ядро Фейера тоже четное. Заинтегрируем по <tex>Q</tex> ядро Фейера: <tex>\int\limits_{Q}\Phi_n(t)dt=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^{n}\int\limits_{Q}D_k(t)dt = 1</tex>, то есть ядро Фейера нормированно <tex>1</tex>. Поступая аналогично ядру Дирихле, можно придти к выводу <tex>\sigma_n(f,x)-S = \int\limits_{Q}(f(x+t)-f(x-t)-2SS)\Phi_n(t)dt</tex> {{---}} основная формула для исследования сумм Фейера в индивидуальной точке. Найдем замкнутое выражение для ядра Фейера.