Изменения

пусть <tex>k</tex> — общий делитель <tex>n_i</tex>ых<tex>(i \in [1..m]) \Rightarrow</tex> поворот <tex>a_1</tex> на угол <tex>\frac { 2\pi } { k }</tex> оставит неподвижными ожерелья из <tex>k</tex> одинаковых кусков длинны <tex>\frac {n} {k}</tex>. Каждый кусок состоит из <tex>\frac {n_i} { k } </tex> бусен <tex>i</tex>ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на <tex>\frac {n} {k}</tex> местах. Соответственно для перестановки <tex>d'</tex> число неподвижных точек будет равно <tex>t(d')=P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })</tex>, где <tex>P(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> — полиномиальные коэффициенты.

рассмотрим поворот <tex> a_i</tex> на угол <tex>\frac {2i\pi} {k}</tex>, где <tex> i \in [1..k]</tex>. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек <tex>a_1</tex>, если <tex> i</tex> взаимно просто с <tex>k</tex>. Количество взаимно простых с <tex>k</tex>(не превосходящих <tex>k</tex>) — является функцией Эйлера <tex>\phi(k)</tex>. Пусть <tex>S</tex> — сумма по всем поворотам, тогда <tex>S= \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })</tex>, где k пробегает множество общих делителей <tex>n_1, n_2, ..., n_m</tex>.