Изменения
Нет описания правки
Эта задача равносильна следующей задаче: сколькими различными способами можно раскрасить вершины правильного <tex>n</tex>угольника вершины которого окрашены в цветов, а количество вершин каждого цвета равно <tex>n_i</tex>. Две расскраски считаются разными, если из одной нельзя получить другую с помощью симметрии или вращения.
Пусть <tex>M</tex> — множество всех возможных окрасок <tex>n</tex>угольника, <tex>D</tex> — группа симметрий <tex>n</tex>угольника, состоящая из <tex>2n</tex> преобразований. Группа <tex>G</tex> определяет группу перестановок на множестве <tex>M</tex>. Пусть <tex> g d \in D</tex> — некое преобразование симметрии <tex> \Rightarrow </tex> для любого многоугольник <tex>x \in M</tex> можно сопоставить многоугольник получаемый из него симметрией <tex>gd</tex>. Назовем сопоставление этой перестановки <tex>gd'</tex>. Группу всех таких перестановок из <tex>D</tex> назовем <tex>D'</tex>.
Два многоугольника будут считаться разными, если из одного невозможно получить другой какой-либо перестановкой <tex>d' \in D'</tex> (они содержаться на разных орбитах группы <tex>D'</tex> действующей на множестве <tex>M</tex>). Поэтому для получения количества различных раскрасок вершин <tex>n</tex>угольника достаточно найти количество орбит группы <tex>D'</tex> на множестве <tex>M</tex>. По лемме Бернсайда, для этого нужно посчитать число неподвижных точек каждой перестановки <tex> d' \in D'</tex>.
пусть <tex>k</tex> — общий делитель <tex>n_i</tex>ых<tex>(i \in [1..m]) \Rightarrow</tex> поворот <tex>a_1</tex> на угол <tex>\frac { 2\pi } { k }</tex> оставит неподвижными ожерелья из <tex>k</tex> одинаковых кусков длинны <tex>\frac {n} {k}</tex>. Каждый кусок состоит из <tex>\frac {n_i} { k } </tex> бусен <tex>i</tex>ого цвета, поэтому число неподвижных точек для поворота будет равно количеству способов расставить бусины на <tex>\frac {n} {k}</tex> местах. Соответственно для перестановки <tex>d'</tex> число неподвижных точек будет равно <tex>t(d')=P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })</tex>, где <tex>P(x_1, x_2, ..., x_m)</tex> — полиномиальные коэффициенты.
рассмотрим поворот <tex> a_i</tex> на угол <tex>\frac {2i\pi} {k}</tex>, где <tex> i \in [1..k]</tex>. Количество его неподвижных точек равно количеству неподвижных точек <tex>a_1</tex>, если <tex> i</tex> взаимно просто с <tex>k</tex>. Количество взаимно простых с <tex>k</tex>(не превосходящих <tex>k</tex>) — является функцией Эйлера <tex>\phi(k)</tex>. Пусть <tex>S</tex> — сумма по всем поворотам, тогда <tex>S= \sum_{k} \phi(k) \cdot P(\frac {n_1} { k }, \frac {n_2} { k }, ..., \frac {n_m} { k })</tex>, где k пробегает множество общих делителей <tex>n_1, n_2, ..., n_m</tex>.
'''рассмотрим симметрии относительно осей:'''
''1 случай:''
<tex>n</tex> — нечетно.Тогда симметричные ожерелья существуют только если среди <tex>n_i/,(i \in [1..m])</tex> только одно число нечетное. Пусть <tex>n_1</tex> — нечетно, <tex>d</tex> — симметрия относительно оси, проходящей через некоторую вершину. Тогда неподвижными будут ожерелья, симметричные относительно оси проходящей через бусину цвета <tex>n_1</tex>. По одной стороне от оси будут находится <tex> \frac {n-1} { 2 } </tex> бусин: <tex> \frac {n_1-1} { 2 } </tex> бусин <tex>n_1 цвета, <tex> \frac {n_i} { 2 } </tex> бусин <tex>n_i</tex> цвета, где <tex>i \in [2.. m] \Rightarrow t(d')=P(\frac {n_1-1} { 2 }, \frac {n_2} { 2 }, ..., \frac {n_m} { 2 })=P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }]),</tex> где <tex>[x]</tex> — целая часть числа <tex>x</tex>. Тогда такое же число неподвижных точек имеет каждая из <tex>n</tex> соответствующая таким симметриям. Пусть <tex>S'</tex> — сумма числа всех неподвижных точек <tex>t(d')</tex> по всем отражениям: <tex>S'=m \cdot P([\frac {n_1} { 2 }], [\frac {n_2} { 2 }], ..., [\frac {n_m} { 2 }])</tex>.
''2 случай:''
