|proof=
$f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty$
{{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}
}}
{{Теорема
|about=аддитивность вариации
|statement=
Пусть $f(x) \in \bigvee(a, c)$ и $b \in [a, c]$, тогда $\bigvee\limits_a^c (f) = \bigvee\limits_a^b (f) = \bigvee\limits_b^c (f)$.
{{Теорема
|statement=
Если $f$ — функция ограниченной вариации ($f \in \bigvee(a, b)\Leftrightarrow f = f_1 - f_2$), то где $f_{1,2}$ — монотонно неубывающие функции.<br>$f$ — функция ограниченной вариации тогда и только тогда, когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций ($f = f_1 - f_2$).
|proof=
Возьмем в качестве $f_1$ функцию $f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)$, тогда по аддитивности она будет не убывать.}}
Определим как $f_2$ функцию $f_2(x) = f_1(x) - f(x)$. Докажем, что она монотонно не убывает.
$a < x_1 < x_2 < b$. Надо доказать, что $f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)$, или что $f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$ (используем утверждение 1).
Но действительно $f(x_2) - f(x_1) \le | f(x_2) - f(x_1) | \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)$, ч. т. д.
}}
</wikitex>
