1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=
Если <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации (<tex>f \in \bigvee(a, b)</tex>)тогда и только тогда, то когда ее можно представить в виде разности монотонно неубывающих функций (<tex>f = f_1 - f_2</tex>).
|proof=
Возьмем в качестве <tex>f_1</tex> функцию <tex>f_1(x) = \bigvee\limits_a^x (f)</tex>, тогда по аддитивности она будет не убывать.
Определим как <tex>f_2</tex> функцию <tex>f_2(x) = f_1(x) - f(x)</tex>. Докажем, что она монотонно не убывает.
<tex>a < x_1 < x_2 < b</tex>. Надо доказать, что <tex>f_1(x_1) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f(x_2)</tex>, или что <tex>f(x_2) - f(x_1) \le f_1(x_2) - f_1(x_1) = \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f)</tex> (используем утверждение 1).
Но действительно f(x_2) - f(x_1) \le abs(f(x_2) - f(x_1)) \le \bigvee\limits_{x_1}^{x_2} (f), ч. т. д. В обратную сторону следствие верно, так как монотонные функции — ограниченные вариацией, и их разность, тоже ограниченая вариацией.
}}
== См. также ==
[http://matematika.phys.msu.ru/files/stud_spec/127/lectionii-1.pdf]
