1679
правок
Изменения
какой юред
Любая сумма Фейера {{---}} тригонометрический полином: <tex>\sigma_n(f) \in H_n</tex>.
__TOC__
== Теорема Фейера в L_1 ==
{{Теорема
}}
Заметим, что если в теореме Фейера <tex>f \in C</tex>(непрерывные <tex>2\pi</tex>-периодические функции), то теорема выполнена в каждой точке <tex>x</tex>, и, самое важное, равномерно по <tex>x</tex>, то есть,
В этом случае, <tex>\sigma_n(f) \stackrel{n \to \infty}{\rightrightarrows} f</tex> на <tex> \mathbb{R} </tex>.
(из теоремы Кантора: <tex>f</tex> {{---}} непрерывно на <tex>[a; b]</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>f</tex> {{---}} равномерно непрерывна на нём)
== Теорема Фейера в L_p ==
Установим теперь теорему Фейера в <tex>L_p</tex>.
<tex> |\sigma_n(f, x)| \le \int\limits_{Q} |f(x + t)|\Phi_n(t) dt = </tex> (возьмем <tex> q:\ \frac1p + \frac1q = 1 </tex>)
<tex>= \int\limits_{Q} |f(x + t)\Phi_n^{\frac1p}(t)| \Phi_n^{\frac1q}(t) dt \le (\int\limits_{Q} |f(x + t)|^p \Phi_n(t) dt)^{\frac1p} (\int\limits_{Q} \Phi_n(t) dt)^{\frac1q}</tex>. Несложно заметить, что второй множитель равен <tex> 1 </tex>.Подставим это неравенство под знак интеграла в предыдущем равенстве:
<tex> \|\sigma_n(f)\|^p_p \le \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dt)dx = </tex> (воспользуемся [[Теорема Фубини|теоремой Фубини]])
<tex> = \int\limits_{Q}(\int\limits_{Q} |f(x+t)|^p\Phi_n(t) dx)dt = \int\limits_{Q} |f(x)|^p dx </tex>.
<tex>\|f\|_p^p \leq 2\pi\|f\|_\infty^p</tex>
<tex>\|f\|_p^p \leq (2\pi)^{1/p}\|f\|_\infty^p</tex>
<tex>\varphi\in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) \in C</tex>, <tex>\sigma_n(\varphi) - \varphi \in C</tex>
