1679
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
{{TODO|t=читай@рефакторь}} <tex>\frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha) = \sigma(fесть мнение, x)</tex> <tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx = r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>что тут все же много мути. Перечитайте, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2а}}</tex> <tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>
{{Утверждение
|statement=<tex>E_n(t)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>
|proof=
{{TODO|t=особенно тут, бред какой-то}}
Если <tex>f\in C</tex>, то по [[теорема Фейера|теореме Фейера]], в <tex>L_p</tex>, суммы Фейера <tex>\sigma_n(f) \rightrightarrows f</tex>.
Другим языком, ряд Фурье будет суммироваться к <tex>f</tex> методом средних арифметических равномерно.
С другой стороны, если составить разность <tex>s_n(f,x) - f(x)</tex> и обозначить
<tex>= \int\limits_Q (f(x + t) - T(x + t))D_n(t) dt + T_n(x) - f(x)</tex>
Поэтому, <tex>|f_n(f, x) - f(x)|</tex><tex>\le \int\limits_Q |f(x+t) - T_n(x+t)| \cdot |f_n(t)| dt + |T_n(x) - f(x)|</tex>
Итого: <tex>\|s_n(t) - f\|_C \le \int\limits_Q |D_n(t)| dt \|f-T_n\| + \|f-T_n\|_C</tex> <tex>= \left(\int\limits_Q \|D_n(t)\| dt + 1\right) E(f)_C</tex>
<tex>\|s_n(f)-f\|_C \le (e_n + 1) E_n(f)_C</tex>, <tex>E_n(f)_C \xrightarrow[n \to \infty]{} 0</tex> (по теореме Вейерштрасса)
<tex>f_n(t) \rightrightarrows f </tex> на <tex>\mathbb{R}</tex>.
Так как <tex>e_n \sim \ln n</tex>, приходим к очередному признаку:{{Утверждение|statement=<tex>E_n(t)_C\ln n \to 0 \Rightarrow \sigma(f)</tex> равномерно сходится к <tex>f</tex>|proof={{TODO|t=зарефакторить сюды то, что выше}}получаем искомый результат.
}}
<tex>\frac{f(x-0)+f(x+0)}2</tex>
|proof=
<tex>\frac{a_0}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos n\alpha + b_n \sin n\alpha) = \sigma(f, x)</tex>
<tex>a_n \cos nx + b_n\sin nx = r_n \cos(nx + \phi_n)</tex>, где <tex>r_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}</tex>
<tex>|a_n \cos nx + b_n \sin nx| \le r_n</tex>
Cогласно [[Суммирование_расходящихся_рядов#теорема Харди|теореме Харди]], учитывая последнее неравенство, если <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2 \le \frac Mn</tex>,
то <tex>s_n(f) \rightrightarrows f</tex>, то есть, ряд фурье будет равномерно сходиться к функции <tex>f</tex>.
Рассмотрим функцию <tex>f \in \bigvee</tex>, <tex>f</tex> {{---}} разность двух возрастающих, значит, каждая её точка
регулярна. По следствию из теоремы Фейера, <tex>\sigma_n(f, x) \to \frac{f(x-0)+f(x+0)}{2}</tex>.
[[Интеграл Римана-Стилтьеса#Оценка коэффициентов Фурье функции ограниченной вариации|С другой стороны]], для таких функций <tex>|a_n(t)|, |b_n(t)| \le \frac Mn</tex>, то есть <tex>r_n^2 \le \frac {M_1}{n^2}</tex>.
Значит, <tex>\sum\limits_{k=n}^\infty r_k^2</tex>
{{Теорема
|statement=<tex>f\in CV \Rightarrow \forall x : f</tex> разкладывается раскладывается в равномерносходящийся ряд Фурье
|proof=
Мы оцениваем <tex>\sum r_n^2</tex>, которое не зависит от <tex>x</tex>. Соединим прошлые результаты параграфа с
