Изменения

Нижняя грань (инфимум) берется по единичной сфере в <tex>\mathbb{R}^n</tex> (компакт в <tex>\mathbb{R}^n</tex>), по непрерывной функции, значит, по теореме Вейерштрасса, найдется <tex>\beta^*</tex> такая, что <tex>\|\beta^*\|=1</tex> и <tex>m = \|\sum\limits_{k=1}^{n}\beta_k^* e_k\|</tex>.

Если предположить, что <tex>m = 0</tex>, то <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}\beta^*_k e_k = 0</tex>, но так как <tex>e_k</tex> {{---}} линейно независимы, то <tex>\beta^*=0</tex>, следовательно, и <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2=0</tex>, но . Но этого быть не может, так как ведь <tex>\sum\limits_{k=1}^{n}(\beta^*_k)^2 =\|\beta^*\|^2 = 1</tex> по сказанному выше, откуда противоречие. Значит, <tex>m>0</tex>.