Изменения

= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac12 r_n \left( \lambda A_0 + \int\limits_{A_0} \cos(\varphi_{n,x}) \cos (2nx) - \int\limits_{A_0} \sin(\varphi_{n,x}) \sin (2nx) \right). Оба интеграла стремятся к нулю по [[лемме Римана-Лебега]], следовательно, разность этих интегралов с некоторого номера больше - \frac12 \lambda A_0 , а значит, n-е слагаемое ряда > \frac12 r_n \rfac12 \lambda A_0. Значит, из сходимости исходного ряда по признаку сравнения следует сходимость\sum\limits_1^{\infty} r_n.}} Таким образом, отождествили сходимость рядов \sum\limits_1^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) и \sum\limits_1^{\infty} (|a_n| + |b_n|). Запишем условие абсолютной сходимости на языке [[наилучших приближений]]. {{Теорема|statement=f \in L_2, \sum\limits_1^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty Тогда ряд Фурье абсолютно сходится.|proof=E_n^2(f)_2 = \pi \sum\limits_{k=n+1)^{\infty} (a_k^2 (f) + b_k^2 (f)). Докажем, что \sum \sqrt{a_k^2 + b_k^2) < + \infty в условиях теоремы \sum\limits_{n=1}^{\infty} \sum\limits{k = n}^{\infty} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} =  \sum\limits_{k=1}^{\infty} \sum\limits{n = 1}^{k} \frac{\sqrt{a_k^2 (f) + b_k^2 (f)}}{k} \le (используем [[неравенство Коши для сумм]]) \le \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( \sum\limits_{k=n}^{\infty}(a_k^2 + b_k^2) \right)^{\frac12} \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} Выражение под первой суммой равно E_{n-1}(f)_{L_2}, вторая сумма \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k^2} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k}\frac1{k-1} \right)^{\frac12} \le \sum\limits_{k=n}^{\infty} \left( \frac1{k-1} - \frac1k \right)^{\frac12} \xrightarrow[k \to \infty]{} (\frac1n)^{\frac12} Таким образом, < \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{E_n(f)_{L_2}}{\sqrt n} < + \infty, таким образом, ряд из r_n сходится.}}