223
правки
Изменения
м
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>f'</tex> опредлена на <tex>(a, b)</tex> и ограничена, тогда <tex>f</tex> — функция ограниченной вариации.
|proof=
<tex>f' < M \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex>
{{TODO|t=НЕ ОЧЕНЬ ПОНИМАЮ, ЗАЧЕМ ВООБЩЕ ЭТО УТСВЕРЖДЕНИЕ ТУТ}}
Утверждение "ограниченная производная"=>"ограниченная вариация" переделано в комментарий к другому утверждению.
|proof=
По определению неубывания, <tex>|f(x_{k+1}) - f(x_k)| = f(x_{k+1}) - f(x_k)</tex>, тогда вариация равна <tex>f(b) - f(a)</tex>, то есть конечна. Аналогично с невозрастающей функцией.
}}
Не все непрерывные функции имеют ограниченную вариацию.
|proof=
Построим пример такой функции.
''Cразу заметим, что рассматривать функции с ограниченной производной <tex>(a, b)</tex> смысла нет. Действительно, если <tex>f' < M</tex>, то по [[Классические_теоремы_дифференциального_исчисления#lagrange|Лагранжу]]: <tex>\exists \widetilde{x}: |f(x_{k+1}) - f(x_k)| = |f'(\widetilde{x})| \triangle x_k \Rightarrow \bigvee_a^b (f) \le M(b - a) \le + \infty</tex> и полная вариация такой <tex>f</tex> конечна.''
Возьмем <tex>f(x) = x \sin(\frac 1x), f(0) = 0</tex>.
Возьмем систему точек <tex>x_k = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>. <tex> f(x_k) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + \pi k} \sin(\frac{\pi}{2} + \pi k) = \frac{(-1)^k}{\frac{\pi}{2} + \pi k}</tex>.
