Изменения

* <tex> u \underset{G }{\to} v </tex> — в графе <tex> G </tex> есть ребро из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>;* <tex> u \underset{G^* }{\leadsto} v </tex> — в графе <tex> G </tex> есть путь (возможно, рёберно пустой) из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>;* <tex> u \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} v </tex> — в графе <tex> G </tex> есть рёберно непустой путь из вершины <tex> u </tex> в <tex> v </tex>.

'''Транзитивным замыканием''' графа <tex> G = \left < V, E \right > </tex> называется граф <tex> G^* = \left < V, E^* \right > </tex>, где <tex> E^* = \left \{ (i, j) \in V \times V | i \underset{G^* }{\leadsto} j \right \} </tex>.

Так как отношение антисимметрично, то граф ацикличен, то есть в нём выполняется следующее: <tex> \forall i, j \in V: i \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} j \Longrightarrow i \neq j </tex>.

Пусть <tex> G^- = \left < V, E^- \right > </tex>. Тогда <tex> E^- = \left \{ k \underset{G }{\to} m \ | \ \forall l: [ k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \} </tex>

Докажем, что <tex> E^- \subseteq \left \{ k \underset{G }{\to} m \ | \ \forall l: [ k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \}</tex>:

Пусть <tex> G^- </tex> уже построен. Пусть <tex> k \underset{G^- }{\to} m </tex>. Тогда <tex> k \neq m </tex> (так как иначе удаление ребра <tex> (k, m) </tex> из <tex> E^- </tex> приведёт к образованию меньшего графа с тем же транзитивным замыканием, что нарушает условие минимальности транзитивного остова). Поэтому по определению транзитивного остова <tex> k \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} m </tex>.

Пусть <tex> l </tex> — вершина, для которой выполняется <tex> k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m </tex>. Докажем, что <tex> k = l </tex>, от противного. Пусть <tex> k \neq l </tex>. <tex> G </tex> ацикличен, поэтому <tex> l \neq m </tex>. Поскольку <tex> G^* = (G^-)^* </tex>, верно <tex> k (\underset{G^-)^}{\overset{+ }{\leadsto}} l \wedge l (\underset{G^-)^}{\overset{+ }{\leadsto}} m </tex>. Поскольку <tex> G^- </tex> ацикличен, путь из <tex> k </tex> в <tex> l </tex> не может содержать ребра <tex> (k, m) </tex>, аналогично путь из <tex> l </tex> в <tex> m </tex> не может содержать <tex> (k, m) </tex>. Поэтому в <tex> G^- </tex> существует путь из <tex> k </tex> в <tex> m </tex>, не содержащий в себе ребро <tex> (k, m) </tex>, значит, удаление <tex> (k, m) </tex> из <tex> E^- </tex> не изменит транзитивное замыкание, что противоречит условию минимальности <tex> E^- </tex>. Поэтому <tex> \forall l: [ k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m \Longrightarrow k = l ] </tex>. Поскольку <tex> k \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} m </tex>, существует такая вершина <tex> l </tex>, что <tex> k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m </tex>, что приводит к выводу, что <tex> k \underset{G }{\to} m </tex>.

Докажем, что <tex> \left \{ k \underset{G }{\to} m \ | \ \forall l: [ k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \} \subseteq E^- </tex>:

Предположим, что <tex> k \underset{G }{\to} m </tex> и <tex> \forall l: [ k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m \Longrightarrow k = l ] </tex>. Докажем, что <tex> k G^- m </tex>, от противного. Предположим, что <tex> (k, m) \notin E^- </tex>. Поскольку <tex> G </tex> ацикличен, <tex> k \neq m </tex> и поэтому <tex> k (\underset{G^-)^}{\overset{+ }{\leadsto}} m </tex>. Поскольку <tex> (k, m) \notin E^- </tex>, существует вершина <tex> l </tex> такая, что <tex> k (\underset{G^-)^* }{\leadsto} l \wedge l (\underset{G^-)^* }{\leadsto} m </tex> и <tex> k \neq l \neq m </tex>, поэтому <tex> k \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} l \wedge l \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} m </tex>. Поскольку <tex> G </tex> ацикличен, существует вершина <tex> l' \neq k </tex>, для которой выполняется <tex> k \underset{G^}{\overset{+ }{\leadsto}} l' \wedge l' \underset{G }{\to} m </tex>, что противоречит нашему предположению.

Так как множества <tex> E^- </tex> и <tex> \left \{ k \underset{G }{\to} m \ | \ \forall l: [ k \underset{G^* }{\leadsto} l \wedge l \underset{G }{\to} m \Longrightarrow k = l ] \right \} </tex> включены друг в друга, они совпадают, что и требовалось доказать.