418
правок
Изменения
→Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям
=== Свойства несобственного интеграла: аддитивность, линейность, монотонность, интегрирование по частям ===
{{Теорема|about=Аддитивность несобственного интеграла|statement=Если интеграл <tex> \int_a^b f </tex> сходится, то для любой точки <tex> c \in (a, b) </tex> интеграл <tex> \int_c^b f </tex> тоже сходится, и <tex> \int_a^b f = \int_a^c f \int_c^b f</tex>. Обратно, если при некотором <tex> c \in (a, b) </tex> интеграл <tex> \int_c^b f </tex> сходится, то сходится и интеграл <tex> \int_a^b f </tex>.|proof=Виноградов т , том 2 , стр . 51 }} {{Теорема|about=Линейность несобственного интеграла|statement=Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> сходятся, <tex> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </tex>, то интеграл <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) </tex> сходится и <tex> \int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 52}} {{Теорема|about=Монотонность несобственного интеграла|statement=Если интегралы <tex> \int_a^b f </tex>, <tex> \int_a^b g </tex> существуют в <tex> \overline{\mathbb{R}} </tex>, <tex> f \leqslant g </tex> на <tex> [a, b) </tex>, то <tex> \int_a^b f \leqslant \int_a^b g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 52}} {{Теорема|about=Интегрирование по частям в несобственном интеграле|statement=Пусть <tex> f, g </tex> дифференцируемы на <tex> [a, b), \ f', g' \in R_{loc} [a, b) </tex>. Тогда <tex> \int_a^b f g' = fg |_a^b - 54\int_a^b f' g </tex>.|proof=Виноградов, том 2, стр. 53}}
=== Признак сравнения сходимости несобственного интеграла ===
