299
правок
Изменения
Создание новой страницы Mikhail Ermakov
Задача о '''наибольшей подпоследовательности-палиндрома''' — это задача поиска длины наибольшей подпоследовательности-палиндрома, которую можно получить вычеркиванием некоторых букв из данной последовательности.
== Определения ==
{{Определение
|id = def1.
|neat = 1
|definition='''Палиндромом''' называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево.
}}
{{Определение
|id = def2.
|neat = 1
|definition='''Подпоследовательностью-палиндромом данной строки''' называется последовательность символов из данной строки, не обязательно идущих подряд, являющаяся палиндромом. Например, '''''HELOLEH''''' является подпоследовательностью-палиндромом строки '''''HTEOLFEOLEH'''''.
}}
__TOC__
== Решение ==
Обозначим данную последовательность через <tex>S</tex>, а ее элементы — через <tex>S[i], 1 <= i <= n</tex>. Будем рассматривать возможные подпоследовательности данной последовательности с <tex>i - </tex>го по <tex>j-</tex>ый символ, обозначим их как <tex>S(i, j)</tex>. Длины максимальных палиндромов для подпоследовательностей будем записывать в квадратный массив <tex>L</tex>: <tex>L[i][j]</tex> — длина максимальной подпоследовательности-палиндрома, который можно получить из подпоследовательности <tex>S(i, j)</tex>.
Начнем решать задачу с простых подпоследовательностей. Для последовательности из одного элемента (то есть подпоследовательности вида <tex>S(i, i)</tex>) ответ очевиден — ничего вычеркивать не надо, такая строка будет искомой подпоследовательностью-палиндромом. Для последовательности из двух элементов <tex>S(i, i + 1)</tex> возможны два варианта: если элементы равны, то мы имеем подпоследовательность-палиндром, ничего вычеркивать не надо. Если же элементы не равны, то вычеркиваем любой.
Пусть теперь нам дана подпоследовательность <tex>S(i, j)</tex>. Если первый <tex>(S[i])</tex> и последний <tex>(S[j])</tex> элементы подпоследовательности не совпадают, то один из них нужно вычеркнуть. Тогда у нас останется подпоследовательность <tex>S(i, j – 1)</tex> или <tex>S(i + 1, j)</tex> — то есть мы сведем задачу к подзадаче: <tex>L[i][j] = max(L[i][j - 1], L[i + 1][j])</tex>. Если же первый и последний элементы равны, то мы можем оставить оба, но необходимо знать решение задачи <tex>S(i + 1, j - 1):
L[i][j] = L[i + 1][j - 1] + 2</tex>.
== Пример ==
Рассмотрим решение на примере последовательности '''''ABACCBA'''''. Первым делом заполняем диагональ массива единицами, они будут соответствовать подпоследовательностями <tex>S(i, i)</tex> из одного элемента. Затем начинаем рассматривать подпоследовательности длины два. Во всех подпоследовательностях, кроме <tex>S(4, 5)</tex>, элементы различны, поэтому в соответствующие ячейки запишем <tex>1</tex>, а в <tex>L[4][5]</tex> — <tex>2</tex>.
Получается, что мы будем заполнять массив по диагоналям, начиная с главной диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Для подпоследовательностей длины <tex>3</tex> получаются следующие значения: в подпоследовательности '''''ABA''''' первый и последний элемент равны, поэтому <tex>L[1][3] = L[2][2] + 2</tex>. В остальных подпоследовательностях первый и последний элементы различны.
'''''BAC''''': <tex>L[2][4] = max(L[2][3], L[3][4]) = 1</tex>
'''''ACC''''': <tex>L[3][5] = max(L[3][4], L[4][5]) = 2</tex>
'''''CCB''''': <tex>L[4][6] = max(L[4][5], L[5][6]) = 2</tex>
'''''CBA''''': <tex>L[5][7] = max(L[5][6], L[6][7]) = 1</tex>
Продолжая далее аналогичные рассуждения, заполним все ячейки под диагональю и в ячейке <tex>L[1][7]</tex> получим ответ <tex>(6)</tex>.
Если же в задаче необходимо вывести не длину, а саму подпоследовательность-палиндром, то дополнительно к массиву длин мы должны построить массив переходов — для каждой ячейки запомнить, какой из случаев был реализован.
== Литература ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Palindrome Wikipedia — Palindrome]
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%BC Википедия — Палиндром]
[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Задача о наибольшей общей подпоследовательности]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]
== Определения ==
{{Определение
|id = def1.
|neat = 1
|definition='''Палиндромом''' называется строка, которая одинаково читается как слева направо, так и справа налево.
}}
{{Определение
|id = def2.
|neat = 1
|definition='''Подпоследовательностью-палиндромом данной строки''' называется последовательность символов из данной строки, не обязательно идущих подряд, являющаяся палиндромом. Например, '''''HELOLEH''''' является подпоследовательностью-палиндромом строки '''''HTEOLFEOLEH'''''.
}}
__TOC__
== Решение ==
Обозначим данную последовательность через <tex>S</tex>, а ее элементы — через <tex>S[i], 1 <= i <= n</tex>. Будем рассматривать возможные подпоследовательности данной последовательности с <tex>i - </tex>го по <tex>j-</tex>ый символ, обозначим их как <tex>S(i, j)</tex>. Длины максимальных палиндромов для подпоследовательностей будем записывать в квадратный массив <tex>L</tex>: <tex>L[i][j]</tex> — длина максимальной подпоследовательности-палиндрома, который можно получить из подпоследовательности <tex>S(i, j)</tex>.
Начнем решать задачу с простых подпоследовательностей. Для последовательности из одного элемента (то есть подпоследовательности вида <tex>S(i, i)</tex>) ответ очевиден — ничего вычеркивать не надо, такая строка будет искомой подпоследовательностью-палиндромом. Для последовательности из двух элементов <tex>S(i, i + 1)</tex> возможны два варианта: если элементы равны, то мы имеем подпоследовательность-палиндром, ничего вычеркивать не надо. Если же элементы не равны, то вычеркиваем любой.
Пусть теперь нам дана подпоследовательность <tex>S(i, j)</tex>. Если первый <tex>(S[i])</tex> и последний <tex>(S[j])</tex> элементы подпоследовательности не совпадают, то один из них нужно вычеркнуть. Тогда у нас останется подпоследовательность <tex>S(i, j – 1)</tex> или <tex>S(i + 1, j)</tex> — то есть мы сведем задачу к подзадаче: <tex>L[i][j] = max(L[i][j - 1], L[i + 1][j])</tex>. Если же первый и последний элементы равны, то мы можем оставить оба, но необходимо знать решение задачи <tex>S(i + 1, j - 1):
L[i][j] = L[i + 1][j - 1] + 2</tex>.
== Пример ==
Рассмотрим решение на примере последовательности '''''ABACCBA'''''. Первым делом заполняем диагональ массива единицами, они будут соответствовать подпоследовательностями <tex>S(i, i)</tex> из одного элемента. Затем начинаем рассматривать подпоследовательности длины два. Во всех подпоследовательностях, кроме <tex>S(4, 5)</tex>, элементы различны, поэтому в соответствующие ячейки запишем <tex>1</tex>, а в <tex>L[4][5]</tex> — <tex>2</tex>.
Получается, что мы будем заполнять массив по диагоналям, начиная с главной диагонали, ведущей из левого верхнего угла в правый нижний. Для подпоследовательностей длины <tex>3</tex> получаются следующие значения: в подпоследовательности '''''ABA''''' первый и последний элемент равны, поэтому <tex>L[1][3] = L[2][2] + 2</tex>. В остальных подпоследовательностях первый и последний элементы различны.
'''''BAC''''': <tex>L[2][4] = max(L[2][3], L[3][4]) = 1</tex>
'''''ACC''''': <tex>L[3][5] = max(L[3][4], L[4][5]) = 2</tex>
'''''CCB''''': <tex>L[4][6] = max(L[4][5], L[5][6]) = 2</tex>
'''''CBA''''': <tex>L[5][7] = max(L[5][6], L[6][7]) = 1</tex>
Продолжая далее аналогичные рассуждения, заполним все ячейки под диагональю и в ячейке <tex>L[1][7]</tex> получим ответ <tex>(6)</tex>.
Если же в задаче необходимо вывести не длину, а саму подпоследовательность-палиндром, то дополнительно к массиву длин мы должны построить массив переходов — для каждой ячейки запомнить, какой из случаев был реализован.
== Литература ==
[http://en.wikipedia.org/wiki/Palindrome Wikipedia — Palindrome]
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%BE%D0%BC Википедия — Палиндром]
[http://neerc.ifmo.ru/wiki/index.php?title=%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BD%D0%B0%D0%B8%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5%D0%B9_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D0%B9_%D0%BF%D0%BE%D0%B4%D0%BF%D0%BE%D1%81%D0%BB%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Задача о наибольшей общей подпоследовательности]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Динамическое программирование]]
