Изменения

Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода — «успех» и «неудача», при этом успех в каждом испытании происходит с одной и той же вероятностью <tex> p \in \mathbb (0, 1)</tex> , а неудача — {{---}} с вероятностью <tex> q =1 - p </tex>.

[[Дискретная случайная величина | Случайная величина ]] <tex>\xi</tex> с таким распределением равна числу успехов в одном испытании схемы Бернулли с вероятностью <tex>p</tex> успеха : ни одного успеха или один успех. Функция распределения <tex> \xi</tex> имеет вид

Обозначим через <tex> v_{n} </tex> число успехов, случившихся в <tex> n</tex> испытаниях схемы Бернулли. Эта (случайная) величина может принимать целые значения от <tex>0 </tex> до <tex>n</tex> в зависимости от результатов испытаний. Например, если все <tex>n </tex> испытаний завершились неудачей, то величина <tex> v_{n} </tex> равна нулю.

Для любого <tex >k = 0, 1, . . . , n </tex> вероятность получить в <tex>n</tex> испытаниях <tex>k</tex> успехов равна <tex>P(v_{n} = k ) = </tex> ) = <texdpi="145">C^k_n\binom{n}{k} </tex> <tex> p ^ {k} q ^ {n - k}</tex>

Событие {<tex>\{A = v_{n} = k\} </tex> = k} означает, что в <tex>n</tex> испытаниях схемы Бернулли произошло ровно <tex>k</tex> успехов. Рассмотрим один элементарный исход из события <tex>A</tex>: когда первые <tex>k</tex> испытаний завершились успехом, остальные неудачей. Поскольку испытания независимы, вероятность такого элементарного исхода равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> (1-p) ^ {n - k} </tex> Другие элементарные исходы из события <tex>A</tex> отличаются лишь расположением <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Есть ровно <texdpi="145">C^k_n\binom{n}{k}</tex> cпособов расположить <tex>k</tex> успехов на <tex>n</tex> местах. Поэтому событие <tex>A</tex> состоит из <texdpi="145">C^k_n\binom{n}{k}</tex> элементарных исходов, вероятность каждого из которых равна <tex> p ^ {k} </tex> <tex> q ^ {n - k}</tex>(Набор вероятностей в теореме называется биномиальным распределением вероятностей.)

Говорят, что случайная величина <tex>\xi</tex> имеет '''биномиальное распределение''' с параметрами <tex>n \in \mathbb N</tex> и <tex> p \in \mathbb(0, 1)</tex> и пишут: <tex> \xi \in \mathbb B_{n, p}</tex> если <tex> \xi</tex> принимает значения <tex>k = 0, 1 , .. . ,n</tex> с вероятностями <tex dpi = "160">P(\xi = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} </tex> . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в <tex> n </tex> испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха <tex>p</tex>.

<tex>P(4)( \le </tex><tex> v_{10}</tex> <tex> \le </tex>6) = <tex>P( v_{10} </tex> = 4) + <tex>P( v_{10} </tex> = 5) + <tex>P( v_{10} </tex> = 6) <tex> ~\approx ~ 0{.}656 </tex>