418
правок
Изменения
→Свойства корреляции
== Свойства корреляции ==
: <tex>Corr(\eta,\xi) = Corr(\xi,\eta)</tex>.
|proof=: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\xi) = { E(\eta \times \xi) - E(\eta) \times E(\xi) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\xi)} } = { E(\xi \times \eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\xi)} \times \sqrt{D(\eta)} } = Corr(\xi,\eta)</tex>}}{{Утверждение|statement=* Корреляция случайной величины с собой равна 1:|proof=
: <tex dpi = "150">Corr(\eta,\eta) = { E(\eta \times \eta) - E(\eta) \times E(\eta) \over \sqrt{D(\eta)} \times \sqrt{D(\eta)} } = {D(\eta) \over D(\eta)} = 1</tex>
}}{{Утверждение|statement=* Если <tex>\eta,\xi</tex> независимые случайные величины, то
: <tex>Corr(\eta,\xi) = 0</tex>.
|proof=Пусть <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - [[Независимые_случайные_величины|независимые величины]]. Тогда <tex>E(\eta \times \xi)=E(\eta) \times E(\xi)</tex>, где <tex>E</tex> - их [[Математическое_ожидание_случайной_величины|математическое ожидание]]. Получаем:
: <tex dpi = "150">{E(\xi) \times E(\eta) - E(\xi) \times E(\eta) \over {E\big((\eta-E(\eta))^2\big) \times E\big((\xi-E(\xi))^2\big)}} = 0</tex>
<b>Но обратное неверно:</b>
Пусть <tex>\eta</tex> - [[Дискретная_случайная_величина|случайная величина]], распределенная симметрично около 0, а <tex>\xi=\eta^2</tex>. <tex>Corr(\eta,\xi)=0</tex>, но <tex>\eta</tex> и <tex>\xi</tex> - зависимые величины.}}{{Утверждение|statement=* Корреляция лежит не на всей вещественной оси
: <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>.
|proof=
Для доказательства используем свойство [[Ковариация_случайных_величин|ковариации]]: <tex>|Cov(\eta,\xi)| \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex>. Тогда при раскрытии модуля получаем:
: <tex>-\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)} \leqslant Cov(\eta,\xi) \leqslant \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex>.
Поделим левую и правую части на <tex>\sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}</tex> и получим: <tex dpi = "150">-1 \leqslant {Cov(\eta,\xi) \over \sqrt{D(\xi)} \cdot \sqrt{D(\eta)}} \leqslant 1</tex>, т.е.
: <tex>-1 \leqslant Corr(\eta,\xi) \leqslant 1</tex>, ч.т.д.
}}
== Примеры ==
