689
правок
Изменения
вроде все
Линейный функциональный анализ базируется на трех китах(теоремах):
# теорема Хана-Банаха о продолжении линейного функционала;
# теорема Банаха об обратном операторе;
# теорема Штенгауза о равномерной ограниченности.
Ранее мы установили, что если на линейном всюду плотном множестве определен линейный функционал, то можно продолжить его на все множество. В теореме Хана-Банаха мы отбросим условие всюду плотности.
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное множество. Функционал <tex>f: X \rightarrow \mathbb R</tex> подчинен полунорме <tex>p</tex> на X, если <tex>\forall y \in Y |f(y)| \le p(y)</tex>
}}
{{Теорема
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} линейное множество, <tex>p</tex> {{---}} полунорма на нем, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество X, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> удовлетворяет условию подчиненности <tex>p</tex>.
Тогда существует линейный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что:
# <tex>g|_Y = f</tex>
# <tex>x \in X \Rightarrow |g(x)| \le p(x)</tex>
}}
Мы не будем доказывать теорему в таком виде, вместо этого докажем ее частный случай:
{{Теорема
|author=
Хан, Банах
|statement=
Пусть <tex>X</tex> {{---}} сепарабельное нормированное пространство, <tex>Y</tex> {{---}} линейное подмножество X, <tex>f: Y \rightarrow \mathbb R</tex> {{---}} линейный ограниченный функционал.
Тогда существует линейный ограниченный функционал <tex>g: X \rightarrow \mathbb R</tex> такой, что <tex>g|_Y = f</tex>, <tex>\|g\| = \|f\|</tex>.
|proof=
Доказательство разбиваем на две части.
'''1'''
Рассмотрим <tex>z \overline \in Y</tex>, $L = \{ y + tz, t \in \mathbb R, y \in Y\}
<tex>L</tex> {{---}} линейное подпространство <tex>X</tex>, <tex>Y \subset L</tex>.
Продолжим <tex>f</tex> с сохранением нормы на <tex>L</tex>. Пусть <tex>g</tex> {{---}} искомый линейный функционал.
<tex>g(y + tz) = g(y) + tg(z) = f(y) + tg(z)</tex>
Пусть <tex>g(z) = -c</tex>, подберем <tex>c</tex> так, чтобы нормы <tex>f</tex> и <tex>g</tex> совпадали. В силу ограниченности <tex>f</tex>, <tex>|f(y)| \le \|f\|\|y\|</tex>, мы хотим найти такое <tex>c</tex>, чтобы выполнялось <tex>g(y+tz) \le p(y+tz)</tex>, где <tex>p(x) = \|f\|\|x\|, x \in X</tex>.
<tex>|g(y+tz)| \le p(y+tz)</tex>
<tex>|f(y) - tc| \le p(y+tz)</tex>
<tex>f(y) - p(y+tz) \le tc \le f(y) + p(y+tz)</tex>
<tex>f(\frac{y}{t}) - p(\frac{y}{t} + z) \le c \le f(\frac{y}{t}) + p(\frac{y}{t} + z)</tex>
Пусть <tex>A = \sup\limits_{y \in Y}(f(y) - p(y + z)), B = \inf\limits_{y \in Y}(f(y) + p(y + z))</tex>.
Проверим, что <tex>A \le B</tex>. Для этого достаточно, чтобы выполнялось <tex>\forall y_1, y_2 \in Y: f(y_1) - p(y_1 + z) \le f(y_2) + p(y_2 + z)</tex>:
<tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex> - верно, так как <tex>f(y_1 - y_2) \le p(y_1 - y_2) = p((y_1+z) - (y_2+z)) \le p(y_1+z) + p(y_2+z)</tex>.
Значит, можно взять любое <tex>c</tex> из отрезка <tex>[A; B]</tex>.
'''2'''
Так как мы рассматриваем сепарабельное НП, то существует последовательность <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex>, замыкание линейной оболочки которой совпадает со всем пространством <tex>X</tex>.
Пользуясь пунктом 1, мы можем выстроить последовательность линейных подпространств в <tex>X</tex>, <tex>L(e_1) \subset L(e_1, e_2) \subset \ldots \subset L(e_1, \ldots, e_n) \subset \ldots</tex>
Тогда <tex>L(e_1, \ldots, e_n, \ldots) = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} L(e_1, e_2, \ldots e_n)</tex>, и <tex> Cl L(e_1, e_2, \ldots e_n) = X</tex>, требуемый функционал можно продолжить по непрерывности.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство. Тогда <tex>\forall x \in X \exists f: X \rightarrow R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1</tex>.
|proof=
<tex>Y = \{tx, t \in \mathbb R\}</tex> {{---}} линейное подмножество в <tex>X</tex>.
<tex>f(tx) = t \|x\|</tex> - линейный функционал в <tex>Y</tex>. Очевидно, <tex>f</tex> удовлетворяет необходимым условиям.
Пользуясь только что доказанной теоремой, продолжаем <tex>f</tex> на все <tex>X</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Пусть <tex>X</tex> - нормированное пространство, <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} линейно независимый набор в <tex>X</tex>.
Тогда в <tex>X</tex> существует биортогональная система функционалов <tex>f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}</tex>
|proof=
Пусть <tex>Y = L(e_1, e_2, \ldots, e_n)</tex>, возьмем <tex>f_j(e_i) = \delta_{ij}</tex>.
Тогда для <tex>y = \sum\limits{k=1}^{n} \alpha_k e_k \in Y</tex>, <tex>f_j(y) = \sum\limits{k=1}^{n} \alpha_k f_j(e_k)</tex>.
Ясно, что все <tex>f_j</tex> - ограниченные линейные функционалы на <tex>Y</tex>, удовлетворяющие нашим условиям. Теперь просто продолжаем каждый из них на все <tex>X</tex> по теореме Хана-Банаха.
}}
{{В разработке}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
