689
правок
Изменения
Нет описания правки
{{В разработке}}
В пределах этого параграфа подразумевается, что оператор <tex>A</tex> {{---}} линейный, ограниченный.
{{Определение
|definition=
Рассмотрим некоторое <tex>\lambda \in \mathbb C</tex>. Если для него существует и непрерывен оператор <tex>R_\lambda(A) = R\lambda = (A - \lambda I)^{-1}</tex> (<tex>I</tex> {{---}} единичный оператор), то он называется '''резольвентой'''. Множество <tex>\lambda</tex>, для которых существует <tex>R_\lambda</tex>, обозначается <tex>\rho(A)</tex>, дополнение к нему обозначается <tex>\sigma(A)</tex> и называется '''спектром''' оператора <tex>A</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\rho(A)</tex> {{---}} открытое множество в <tex>\mathbb C</tex>;
|proof=
Пусть <tex>\lambda_0 \in \rho(A)</tex>, <tex>\exists R_{\lambda_0}</tex>.
<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0) (A - \lambda_0 I) R_{\lambda_0} = (A - \lambda_0 I) (I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex>
Если <tex>|\lambda - \lambda_0| \|R_{\lambda_0}\| < 1</tex>, то <tex>(I - (\lambda - \lambda_0) R_{\lambda_0})</tex> непрерывно обратим по теореме Банаха.
Тогда и оператор <tex>A - \lambda I</tex> тоже непрерывно обратим. {{TODO|t=почему?}}
Нужное нам условие выполняется для всех <tex>\lambda</tex> из шара <tex>\frac1{\|R_{\lambda_0}\|}</tex>, таким образом, любая точка множества <tex>\rho(A)</tex> входит в него вместе с некоторой окрестностью.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\{ |\lambda| > \|A\|\} \subset \rho(A)</tex>
|proof=
<tex>A - \lambda I = -\lambda(I - \frac1\lambda A)</tex>
Если <tex>|\lambda| > \|A\|</tex>, то <tex>\frac1{|\lambda|} \|A\| < 1</tex>, <tex>(I - \frac1\lambda A)</tex> непрерывно обратим, и <tex>A</tex> имеет резольвенту. Отсюда мгновенно получаем требуемое.
}}
{{Определение
|definition=
<tex>r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A\|^n}</tex> {{---}} спектральный радиус оператора.
}}
Так как <tex>\|A^n\| \le \|A\|^n</tex>, то <tex>r_\sigma(A) \le \|A\|</tex>.
{{Утверждение
|statement=
<tex>r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A\|^n}</tex>
|proof=
Обозначим для краткости <tex>r_\sigma(A)</tex> за <tex>r</tex>.
По определению нижней грани, <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists n_0: r \le \sqrt[n]{\|A\|^n} < r + \varepsilon</tex>.
<tex>\forall n > n_0, n = p_n n_0 + q_n</tex>, где <tex>q_n = 0, 1, \ldots, n_0 - 1</tex>.
<tex>\sqrt[n]{\|A\|^n} = \sqrt[p_n n_0 + q_n]{\|A\|^n}</tex>, <tex>\|A\|^n \le \|A^{p_n n_0}\| \|A\|^{q_n} \le \|A^n_0\|^p_0 \|A\|^{q_n}</tex>
Значит, <tex>\sqrt[n]{\|A\|^n} \le \sqrt[\frac{n}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} \sqrt[\frac{n}{q_n}]{\|A\|}</tex>.
Здесь <tex>\sqrt[\frac{n}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} = \sqrt[\frac{p_n n_0 + q_n}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} \le \sqrt[\frac{p_n n_0}{p_0}]{\|A\|^{n_0}} = \sqrt[n_0]{\|A\|^{n_0}} < r_\sigma + \varepsilon</tex>, а <tex>\sqrt[\frac{n}{q_n}]{\|A\|} \le \sqrt[\frac{n}{n_0 - 1}]{\|A\|} \to \|A\|^0 = 1</tex>.
Отсюда, <tex>r \le \sqrt[n]{\|A\|^n} r + \varepsilon</tex>, <tex>\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A\|^n} \to r</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
<tex>\sigma(A) \subset {|\lambda| < r_\sigma(A)}</tex>
|proof=
Проверим, при каких <tex>r_\sigma</tex> будет сходиться ряд <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n</tex>. В этом случае оператор <tex>A - \lambda I = -\lambda (I - \frac1\lambda A)</tex>, очевидно, будет непрерывно обратим.
<tex>\|\sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac1\lambda A)^n \| \le \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\frac1\lambda|^n \|A\|^n</tex>, по радикальному признаку Коши, последний ряд сходится, если <tex>\sqrt[n]{|\frac1\lambda|^n \|A\|^n} = |\frac1\lambda| \sqrt[n]{\|A\|^n} \to |\frac1\lambda| r_\sigma < 1</tex>.
То есть, при <tex>r_\sigma < |\lambda|</tex>, <tex>\lambda \in \rho(A)</tex>, и <tex>\sigma(A) \subset V_{r_\sigma}(0)</tex>
}}
{{Теорема
|statement=
<tex>\|A\| < +\infty \Rightarrow \sigma(A) \ne \varnothing</tex>
|proof=
Если <tex>L(X)</tex> (пространство линейных ограниченных операторов <tex>A: X \rightarrow X</tex>) банахово, то в нем можно рассматривать операторно степенные ряды <tex>\sum\limits_{n=0}^{\infty} A_n\lambda^n</tex>, их свойства копируют свойства обычных степенных рядов.
Докажем, что оператор <tex>R_\lambda</tex> аналитичен в <tex>\rho(A)</tex> и в <tex>\infty</tex>.
<tex>A - \lambda I = A = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)I = (A - \lambda_0 I) - (\lambda - \lambda_0)(A - \lambda_0 I)R_{\lambda_0} = (A - \lambda_0 I)(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0})</tex>
<tex>(I - (\lambda - \lambda_0)R_{\lambda_0}) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n</tex> {{---}} сходится при <tex>|\lambda - \lambda_0| \approx 0</tex>.
{{TODO|t=вот здесь что-то подозрительное}}
<tex>A - \lambda I = (A - \lambda_0 I) \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^n (\lambda - \lambda_0)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} R_{\lambda_0}^{n-1} (\lambda - \lambda_0)^n</tex>, следовательно, <tex>(A - \lambda I)^{-1}</tex> аналитична.{{TODO|t=WAT}}
Также, так как <tex>A - \lambda I = -\lambda (I - \frac1\lambda A)</tex>, то при <tex>|\lambda| \approx \infty</tex>, <tex>R_\lambda = -\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{A^n}{\lambda^{n-1}}</tex>, и <tex>R_lambda</tex> аналитична при <tex>\lambda = \infty</tex>.
Теперь допустим, что <tex>\|A\| < +\infty</tex> и <tex>\sigma(A) = \varnothing</tex>. Тогда <tex>\rho(A) = \mathbb C</tex>.
Для любого <tex>r</tex> оператор <tex>R_\lambda(z)</tex> ограничен в шарах <tex>0 < z < r</tex> и <tex>z > r</tex>.
Но <tex>R_\lambda</tex> аналитичен на всей комплексной плоскости, значит, по теореме Лиувилля, <tex>R_\lambda</tex> есть константа, пришли к противоречию. {{TODO|t=НЕТ, НЕ ПРИШЛИ ЕЩЕ!}}
}}
[[Категория: Функциональный анализ 3 курс]]
