Изменения

<tex> \mathrm{Ker}\, f </tex> — линейное подмножество <tex>X</tex> : Пусть <tex>x, y \in \mathrm{Ker} f</tex>, тогда <tex>f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y) = 0 \Rightarrow \alpha x + \beta y \in \mathrm{TODO | t = возможно, нужно доказательство}Ker}f</tex>.

<tex> X /_Y </tex> — совокупность всех классов смежности — '''фактор -множество''' по <tex>Y</tex>.

Фактор -множество — линейное, следовательно, можно говорить о его размерности:

Пусть <tex> \xi_k = [ e_k ] </tex>, то есть <tex> [ x ] = \left [ \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k \right ] </tex>. Следовательно, по определению <tex> [ x ] </tex>, <tex> x \sim \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k </tex>. <tex> \implies x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k = y \in Y \implies x = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k + y </tex> ­— разложение <tex> x </tex>. Единственность следует из единственности разложения по базису <tex> [x] = \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k \xi_k </tex>.

Итак, ядро линейного функционала является гиперплоскостью. Для непрерывности надо превратить <tex>X</tex> в ТВП. Наиболее важный случай — когда <tex>X</tex> является НП. Для функционального анализа значение имеют линейные непрерывные функционалы. {{TODO| t= у меня в конспекте, вроде, пропущен примерно абзац текста}}.

<tex> \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup_sup\limits_{\| x \| \leq 1overline{V}_1} {| f(x) |} </tex>

{{TODO|t=у меня в конспекте написано что-то непонятное про норму функционалов}} Пусть <tex> X^* </tex> обозначает теперь более узкий класс линейных ограниченных функционалов. То, что <tex>\|f\|</tex> — норма, проверяется так же, как свойства [[нормы линейного оператора]], то есть получили, что <tex>X^*</tex> — НП, сопряженное с <tex>X</tex>.

{{TODO|t=Идея доказательства:}}

{{TODO|t=что-то не вижу доказательства в конспекте Алины}}