355
правок
Изменения
→Допустимые ребра
{{Лемма
|id = Лемма2
|about = Об изменении допустимой цепи, с помощью операции проталкивания
|statement =
Если вершина <tex>u</tex> переполнена и ребро <tex>(u, v)</tex> допустимое, то применяемая операция <tex>push(u, v)</tex> не создает новые допустимые ребра, но может привести к тому, что ребро <tex>(u, v)</tex> станет недопустимым.
{{Лемма
|id = Лемма3
|about = Об изменении допустимой цепи, с помощью операции подъема
|statement =
Если вершина <tex>u</tex> переполнена , и не имеется допустимых ребер, выходящих из <tex>u</tex>, то применяется операция <tex>relabel(u)</tex>. После подъема появляется по крайней мере одно допустимое ребро, выходящее из <tex>u</tex>, но нет допустимых ребер, входящих в <tex>u</tex>.
|proof =
Рассмотрим вершину <tex>u</tex>. Если <tex>u</tex> переполнена, то, согласно [[Метод проталкивания предпотока#Лемма2|лемме (2)]], к ней может быть применима либо операция проталкивания, либо операция подъема. А так как не существует допустимых ребер для <tex>u</tex>, то протолкнуть поток не возможно, значит, применяется операция <tex>relabel(u)</tex>. После данного подъема <tex>h[u] = 1 + min \{ h[v]: (u, v) \in E_{f} \}</tex>. Значит, если <tex>u</tex> {{---}} вершина указанного множества, в которой реализуется минимум, то <tex>(u, v)</tex> становится допустимым. А это значит, что после подъема существует хотя бы одно допустимое ребро, выходящее из <tex>u</tex>.
Пусть после подъема существует такая вершина <tex>u</tex>, после подъема, что ребро <tex>(u, v)</tex> допустимо. Тогда <tex>h[v] = h[u] + 1</tex>, значит, перед подъемом <tex>h[v] > h[u] + 1</tex>. Но между вершинами, высоты которых отличаются более чем на 1, не существует остаточных сетей. Кроме того, подъем вершины не меняет остаточную сеть. Значит, ребро <tex>(v, u)</tex> не может находится в допустимой сети, так как оно не принадлежит остаточной сети.
}}
