Изменения

Рассмотрим последовательность <tex> \{ f(y_n) \} </tex>. Она сходится в себе, так как <tex>f(y_n) - f(y_m) = f(y_n - y_m)</tex>, <tex>y_n - y_m \in Y</tex>, и как мы уже заметили, последовательность <tex>y</tex> сходится в себе, тогда по непрерывности <tex> f(y_n - y_m) </tex> сходится и последовательность <tex>f(y_n)</tex> сходится в себе, тогда по полноте <tex>\mathbb{R}</tex>, последовательность <tex>f(y_n)</tex> также сходится к некому пределу , который мы и определим как продолжение функционала в точке <tex> \widetilde f(x) </tex>, который мы определим как продолжение функционала в точке то есть <tex>\widetilde f(x) \stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim f(y_n)</tex>.

{{TODO|t=осталось вот:}} Установим единственность: Если <tex>y_n \to x</tex> и <tex> y'_n \to x </tex>, то <tex>y_n - y'_n \to 0 \implies f(y_n - y'_n) \to 0 </tex><tex>\implies f(y_n) - f(y'_n) \lim to 0 \implies f(y_n) = \lim f(y'_n) </tex>. Таким образом предел не зависит от выбора <tex> y_n </tex>.

Покажем, что <tex> \widetilde f </tex> ­— линейный и удовлетворяет условию теоремы:* <tex>\widetilde f (\alpha x) = \lim f(\alpha y_n) = \lim \alpha f(y_n) = \alpha \lim f(y_n) = \alpha \widetilde f(x)</tex>* <tex>\widetilde f (x + x') = \lim f(y_n + y'_n) = \lim f(y_n) + f(y'_n)</tex><tex> = \lim f(y_n) + \lim f(y'_n) = \widetilde f(x) + \widetilde f(x')</tex>* непрерывность: покажем непрерывность в нуле, что равносильно непрерывности везде. Пусть последовательность <tex>x_n</tex> в <tex> X </tex> сходится к <tex>0</tex>. {{TODO|t=дальше не придумал что-то}}* сужение: покажем, что <tex>\forall y \in Y: \widetilde f(y) = f(y)</tex>, как уже показали, можем выбрать любую последовательность, сходящуюся к <tex>y</tex>, тогда возьмем последовательность, состоящую только из <tex>y</tex>, очевидно, она сходится к <tex>y</tex> и значения функционалов совпадают* сохранение нормы: по только что доказанному свойству сужения, на <tex>\| x \| \le 1</tex> функционал <tex>\widetilde f </tex> принимает все те значения, что и <tex>f</tex>, поэтому достаточно показать, что не найдется <tex>x: \| x \| \le 1, x \in X, x \notin Y: |\widetilde f(x)| > \|f\|</tex>. Пусть такой <tex>x</tex> нашелся со значением функционала <tex>\widetilde f(x) > 0</tex>, значит, он является пределом какой-то последовательности <tex>y_n</tex> в <tex>Y</tex>. Тогда по определению продолжения функционала и определению предела <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n \ge N: |f(y_n) - \widetilde f(x)| < \varepsilon</tex>, возьмем <tex>\varepsilon < \widetilde f(x) - \|f\|</tex>, тогда найдется такой номер <tex>N</tex>, что <tex>y_N \in Y, f(y_N) > \|f\|</tex>, то есть получили противоречие.