Изменения

Так же, как и в случае с линейным функционалом, можно показать, что ограниченность линейного оператора равносильна его непрерывности(копипаста из 2 семестра){{Теорема|statement=Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.|proof=# <tex>\mathcal{A}</tex> {{---}} ограничен, значит, <tex> \left \| \mathcal{A}(x) \right \| \le m \left \| x \right \|, m \ge 0</tex>#: <tex>\left \| \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \right \| \le m \left \| \Delta x \right \| </tex>#: <tex> \mathcal{A} \left( \Delta x \right) \xrightarrow [\Delta x \to 0]{} 0 </tex>. #: А непрерывен в 0, следовательно, непрерывен и на X.# Пусть <tex>\mathcal{A}</tex> {{TODO---}} непрерывен на X, в частности, в <tex>0</tex>, тогда:#: Подставляем в определение <tex>\varepsilon = 1: ~ \exists \delta > 0: \forall z: \left \|tz \right \| \le \delta \Rightarrow ~ \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le \varepsilon =надо бы показать1</tex>#* Для <tex>x = 0</tex> условие ограничения будет соблюдено при любом <tex>m</tex>.#* Для <tex>x \ne 0</tex> рассмотрим <tex>z = \frac{\delta}{2} \frac {x}{\left \| x \right \|}.\quad</tex>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<tex> \left \| z \right \| = \frac{\delta}{2} < \delta \Rightarrow \left \| \mathcal{A}(z) \right \| \le 1 </tex>#*: Но <tex>\mathcal{A} \left ( z \right ) = \frac {\delta}{2 \left \| x \right \|} \mathcal{A}(x) </tex>. Значит, <tex> \| \mathcal{A}(z) \| = \frac {\delta}{2 \| x \|} \| \mathcal{A}(x) \| \le 1</tex>, таким образом, <tex> \| \mathcal{A}(x) \| \le \frac2{\delta} \| x \|</tex>#: Выберем <tex> m = \frac2{\delta} </tex>, и получим, что оператор ограничен.}}

Пусть <tex>Y</tex> - линейное множествопространство, <tex>Cl Y = X</tex>, <tex>A: Y \rightarrow Z</tex> - линейный ограниченный оператор, <tex>Z</tex> {{---}} банахово.

<tex>z_n = Ay_n \in Z</tex>, <tex>\|z_n - z_m\| = \|A(y_n - y_m)\| \le \|A\|\|y_n = - y_m\| \xrightarrow[n,m\to \infty]{} 0</tex>.

"Ясно, что норма оператора сохраняется, здесь все тривиально"{{TODO|t=написать о тривиальном. Наверняка также как в [[Линейные функционалы#densefunextension]], но лучше бы все равно написать, а то мало ли}}

Значит, можно выбрать <tex>n_1 \ge N, N1N_1</tex>, такое, что <tex>\forall m \ge N: \|Ax - A_m x\| \le \|Ax - A_{n_1} x\| + \|(A_{n_1} - A_m) x\| \le 2 \varepsilon</tex>.

Пример (пример линейного ограниченного Примеры:* <tex>A: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex> — очевидно, линеен, а ограничен, так как в качестве константы, его ограничивающей можно взять сумму модулей элементов матрицы оператора, что ли? зачем?): .* <tex>X = C[0, 1]</tex>, <tex>K</tex> - непрерывная на <tex>[0, 1] \times [0, 1]</tex> функция, <tex>x \in X</tex>. <tex>A(x, t) = \int\limits_0^1 K(t, s) x(s) ds</tex> {{---}} интегральный оператор Фредгольма. Очевидно, он линеен и , так как <tex>|K(t, S)| \le M</tex>, то <tex>|A(x, t)| \le M \|x\|</tex> ограничен.