1679
правок
Изменения
почти доказал, осталась одна дырка
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex> A : X \to Y </tex> {{---}} линейный ограниченный оператор, и <tex> \exists m > 0: m \| x \| \le \| Ax \| </tex>.Тогда <tex> A </tex> непрерывно обратим. {{TODO|t=m>0, видимо, имеется в виду? Иначе это всегда выполняется.}}
|proof=
{{TODO|t=Упражнение, доказать самим. Необходимо заткнуть.}}
Некоторые идеи:
: Можно заметить, что в ядре только нулевой вектор, в противном случае получим <tex> 0 < m \|x\| \le \|A x\| = 0</tex>. Из этого также следует, что оператор инъективен: пусть <tex>A x_1 = y, A x_2 = y</tex>, тогда <tex>A (x_1 - x_2) = 0</tex>, что возможно только когда <tex>x_1 = x_2</tex>. Вообще если бы мы могли показать, что из того, что размерность ядра равна 0 следует, что образ совпадает с <tex>Y</tex>, было бы неплохо. (upd: видимо, это неправда, рассмотрим оператор из R^n -> R^{n+1}, действующий как I, но дописывающий к последней координате 0). Тогда бы у нас оператор был взаимо однозначным, мы бы определили <tex>A^{-1}</tex> на всем <tex>Y</tex> и для любого <tex>y</tex> рассмотрели <tex>x = A^{-1} y</tex>. Тогда <tex> m \|x\| = m \|A^{-1} y \| \le \|A A^{-1} y\| \implies \|A^{-1} y\| \le \frac{1}{m} \|y\|</tex>, то есть оператор ограничен константой <tex>\frac{1}{m}</tex>.
: Также можно заметить, что это отображение допускает априорную оценку решения, так как <tex>\|x\| \le \frac{1}{m} \|A x\|</tex>, из чего по уже доказанному следует замкнутость образа (неясно только нафига это может понадобиться) --[[Участник:Dgerasimov|Дмитрий Герасимов]] 17:16, 9 января 2013 (GST)
<tex> Y_n = \{ y \in Y \mid \| A^{-1}(y) \| \le n \| y \| \} </tex>.
Существует такое число <tex> n_0 </tex>, что <tex> Y_{n_0} = Y^*, \overlinemathrm{Cl} Y^*} = Y </tex> (по доказанной лемме).
Зафиксируем <tex> y </tex>. Существует такое разложение <tex> y = \sum\limits_1^{\infty} y_n </tex>, что <tex> y_n \in Y^*, \| y_n \| \le \frac 3{2^n} \| y \| </tex>. Покажем, как его получить.
