277
правок
Изменения
→Теорема о круге сходимости степенного ряда
Возьмём три случая:
1) <tex> 1) \forall z \in \mathfrak{C} </tex> — ряд <tex> (A) </tex> сходится
2) <tex> 2) (A) </tex> — сходится только при <tex> z = z_0 </tex>
3) <tex> 3) \exists R </tex> <tex> 0 < R < + \infty </tex> при
<tex> |z - z_0| < R </tex> сходится
<tex> R </tex> — радиус сходимости
|proof=
Нужно доказать абсолютную сходимость <tex> \sum |a_k| \cdot |z - z_0|^k </tex> Признак Коши: <tex> \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = \overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |z - z_0| = |z - z_0| \cdot\overline{lim}_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n|} </tex> 1) <tex> \overline{lim} = 0 </tex> при всех <tex> z </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно 2) <tex> \overline{lim} = + \infty </tex> при <tex> z = z_0 \text{ } lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{|a_n| \cdot |z - z_0|^n} = 0 </tex>, т.е.ряд сходится при <tex> z \ne z_0 \text{ } lim \sqrt[n]{...} = + \infty </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>) 3) <tex> \overline{lim} \sqrt[n]{a_n} </tex> — конечен <tex> = \frac{1}{R} </tex> <tex> |z - z_0| < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> сходится абсолютно <tex> |z - z_0| > R </tex> расходится (слагаемые <tex> \nrightarrow 0 </tex>)
}}
