277
правок
Изменения
→Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда
=== Теорема о равномерной сходимости и непрерывности степенного ряда ===
{{Теорема
|statement=
Ряд <tex> (A) = \sum a_n(z - z_0)^n, 0 < R \le + \infty </tex> — р. сх-ся
Тогда:
1) Для <tex> r : 0 < r < R </tex> ряд <tex> (A) </tex> р. сх-ся в круге <tex> \overline{B(z_0, r)} </tex>
2) В круге <tex> B(z_0, R) </tex> сумма ряда <tex> (A) </tex> — непрерывна.
|proof=
(1) Признак Вейерштрасса
<tex> z \in \overline{B(z_0, r)} </tex>
<tex> |a_n(z - z_0)^n| = |a_n| \cdot r^n </tex>
<tex> \sum |a_n| \cdot r^n </tex> — сходится! т.к. <tex> \sum a_n \cdot r^n </tex> — абс. сх.
<tex> (z := z_0 + r \in B(z_0, R)) </tex>
(2) фиксируем <tex> z \in B(z_0, R) </tex>; Возьмём <tex> r : |z - z_0| < r < R </tex>
В <tex> B(z_0, r) </tex> ряд р. сх. и слагаемые непр. <tex> \Rightarrow </tex> сумма непрерывна.
}}
=== Линейные и комплексно линейные отображения. Уравнения Коши--Римана ===
=== Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда ===
