Изменения

2) <tex> y_0 = F(x_0), \ (F^{-1})' (y_0) = (F'(x_0))^{-1} </tex>|proof=1) <tex> r = 1 </tex> <tex> S := F^{-1}; F(O) = O' </tex> — откр.; <tex> S : O' \to O </tex>; * <tex> T : X \to Y; T </tex> — непр. <tex> \Leftrightarrow \forall u \subset Y : T^{-1} </tex> — откр. <tex> y_0 = F(x_0); x_0 = S(y_0) </tex> <tex> y - y_0 = F(x) - F(x_0) = A(x - x_0) + o(|x - x_0|) </tex> <tex> S(y) - S(y_0) = x - x_0 = A^{-1}(y - y_0) - A^{-1} o(x - x_0) </tex> [<tex> T </tex> — невыр. в <tex> x_0; \exists c, \delta \ \forall x \in B(x_0, \delta) \ |T(x) - T(x_0)| > c|x - x_0| </tex>] Возьмём <tex> c, \delta </tex>— из леммы; <tex> T := F'(x_0) </tex> <tex> y - y_0 = T(x - x_0) + \alpha(x)|x - x_0| </tex> <tex> S(y) - S(y_0) = T^{-1}(y - y_0) - \frac{T^{-1} \alpha(x) |S(y) - S(y_0)|}{? o(y - y_0)} </tex> Можно считать, что <tex> y </tex> близко к <tex> y_0 </tex>, так что <tex> |x - x_0| = |S(y) - S(y_0)| < \delta </tex> <tex> | \ \Gamma^{-1} \alpha(x) \cdot |x - x_0| \ | = |\Gamma^{-1}(\alpha(x))|\cdot|x - x_0| \le </tex><tex> \| \Gamma^{-1} \| \cdot |\alpha(x)| \cdot \frac{1}{c} |F(x) - F(x_0)| \le \frac{\| \Gamma^{-1} \|}{c}|y - y_0|\cdot|\alpha(x)| </tex> <tex>// y \to y_0; x \to x_0; \alpha(x) \to 0 </tex> <tex> y \mapsto S(y) = x \mapsto F'(x) = T \mapsto T^{-1} = S'(y) </tex> 2) <tex> r </tex> — любое. (без доказательства)