277
правок
Изменения
→Теорема о задании гладкого многообразия системой уравнений
2.2) <tex> \nabla f_1, ... , \nabla f_{m - k} </tex> — линейно независимые
|proof=
<tex> 1 \Rightarrow 2 </tex>
<tex> \Phi : \Omega \to \mathbb{R}^m </tex> — параметризация <tex> C^r; \ p = \Phi(t_0); \ \Phi'(t_0) </tex> — матрица <tex> m \times k </tex>
<tex> Rg \Phi'(t_0) = k </tex> — реализуется на первых <tex> k </tex> степенях
<tex> \det( \frac{\partial \Phi_i}{\partial U_j} (t_0) ) \ne 0; \ L : \mathbb{R}^m \mapsto \mathbb{R}^k; \ (x_1 ... x_m) \mapsto (x_1 ... x_k) </tex>
<tex> 2 \Rightarrow 1 </tex>
Очевидно: <tex> (L \circ \Phi)'(p) </tex> — невырожденно.
<tex> \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_m); L \circ \Phi = (\Phi_1 ... \Phi_k) </tex>
<tex> \exists W(t_0) : L \circ \Phi </tex> — диффеоморфизм на <tex> W(t_0) </tex>
<tex> V = (L \circ \Phi)(W) \Rightarrow L </tex> взаимно однозначное отображение <tex> \Phi(W) </tex> на <tex> V </tex>
<tex> \Psi_1 = (L \circ \Phi)^{-1}; \ H : V \to \mathbb{R}^{m - k}; \ \Phi(\Psi(V)) = (V, H(V)) </tex>
<tex> \Phi(W) </tex> — открыто в <tex> M \Rightarrow \Phi(W) </tex> — реал. как <tex> G \cap M, \ G </tex> — откр. в <tex> \mathbb{R}^m </tex>
<tex> G := V \times \mathbb{R}^{m - k}; \ \tilde{U} = G \cap G_1 </tex>
<tex> \begin{cases} f_1 = H_1 - X_{k + 1} \\ \ldots \\ f_{m - k} = H_{m - k} - X_m \end{cases} </tex>
<tex> \begin{matrix} \nabla f_1 = (\frac{\partial H_1}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_1}{\partial x_k}, 1, 0, \ldots, 0 ) \\ \cdots \\ \nabla f_{m - k} = ( \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_1} \cdots \frac{\partial H_{m - k}}{\partial x_k}, 0, \ldots, 0, 1 ) \end{matrix} </tex>
}}
