277
правок
Изменения
→Теорема Вейерштрасса о приближении функций многочленами
|statement=
Пусть <tex> f </tex> непрерывна на <tex> [a; b] </tex>. Тогда существует многочлен <tex> P_n(x), \ n = 1, 2 ... </tex>, что <tex> \forall x \in [a; b] \ P_n(x) \to f(x) </tex>.
|proof=
<tex> [a, b] \subset [a - 1, b + 1] = [a_1, b_1] </tex> // Можно считать <tex> \begin{matrix} [a, b] = [\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \\ [a_1, b_1] = [0, 1] \end{matrix} </tex>
<tex> \tilde f(x) = \begin{cases} f(x), x \in [a, b] \\ f(a), x \in [a_1, a] \\ f(b) x \in [b, b_1] \end{cases} </tex>
Заметим, что: <tex> \int_{a_1}^{b_1} \tilde f(t)(1 - (x - t)^2)^n dt \sim_{n \to +\infty} \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x); \ x \in [a, b] </tex>
<tex> \varphi (t) = ln(1 - (x - t)^2); \ max \varphi </tex> — достигается при <tex> t = x </tex>
<tex> \varphi(t) \sim -(x - t)^2, t \to x </tex>
<tex> \varphi''(x) = -2, \ \varphi(x) = 0 </tex>
<tex> Q_n(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{n}} f(x), \ n \to +\infty </tex>
<tex> \sqrt{\frac{n}{\pi}} Q_n (x) \to f(x)_{x \in [a_1, b]}, \ n \to +\infty </tex>
}}
* Замечание
<tex> \forall f </tex> — непр. на <tex> [a, b] \ \ \exists f_n(x) </tex> — многочлен : <tex> P_n(x) \rightrightarrows f </tex> на <tex> [a, b] </tex>
=== Формула Стирлинга для Гамма-функции ===
